Comment le noeud trilobé exprimé en coordonnées polaires Mathématiques Stack échange
Un article de Wikipédia, les équations paramétriques pour un noeud trilobé sont
\ Begin x (t) - = \ sin t + 2 \ sin 2t \\ y (t) - = \ cos t - 2 \ cos 2t \\ z (t) - = - \ sin 3t. \fin
Je ne suis intéressé par les dimensions $ x $ et $ y $, donc $ z (t) $ est ignoré. Quand je conspire avec Wolfram | Alpha. Je reçois la forme générale attendue. Cependant, lorsque je tente de le convertir en coordonnées polaires, il (apparemment) ne fonctionne tout simplement pas.
\ Begin r ^ 2 - = x ^ 2 + y ^ 2 \\ - = (\ sin t + 2 \ sin 2t) ^ 2 + (\ cos t + 2 \ cos 2t) 2 ^ \\ - = (\ sin ^ 2 t + 4 \ sin t \ sin 2t + 4 \ sin ^ 2 2t) + (\ cos ^ t 2 - 4 \ cos t \ cos 2t + 4 \ cos ^ 2 2t) \\ - = 1 + 4 + 4 (\ sin t \ sin 2t - \ cos t \ cos 2t) \\ - = 04.05 \ cos 3t \ end
Pourtant, lorsque je tente de tracer $ r = \ sqrt $. Je reçois quelque chose de complètement différent. Quel est le problème? De plus, comment pourriez-vous exprimer le noeud trilobé en coordonnées polaires?
Lorsque vous faites des parcelles polaires que vous êtes coincé avec paramétrisation de la forme limitée $$ x (\ varphi) = r (\ varphi) \ cos \ varphi, \ y quad (\ varphi) = r (\ varphi) \ sin (\ varphi ). $$ Le paramétrisation que vous avez donné n'est pas de cette forme. Cela ressort déjà de l'observation que la paramétrisation donne la minette pleine, quand $ t \ in [0,2 \ pi] $, mais les enveloppes trilobées autour de l'origine deux fois, donc $ \ varphi $ devrait aller plus de $ [0, 4 \ pi] $.
Ici, la constante d'addition de 2 $ $ représente le rapport du rayon du « fil » à l'intérieur du tore à celle du « tube » autour du fil. IMVHO la projection ressemble un peu plus propre, si l'on utilise rapport $ 4 $ et équation $ r = 4 + \ cos \ frac2 $ au lieu:
Pour une meilleure vue ici est une image 3D de la façon dont le lotier s'enroule autour du torus.
Le trèfle est le tube mince à la surface de l'anneau.
Votre t $ est pas le même que $ \ theta $ pour un point donné sur le nœud trilobé. Ce $ \ theta $ est $ \ arctan (\ frac) $. Si vous regardez le graphique d'un nœud de trèfle, vous pouvez le voir, il ne peut y avoir aucune équation polaire parce que la mise en correspondance de $ \ theta $ à $ r $ est pas un à un. Le mieux que vous pouvez faire est une équation paramétrique en coords polaire, qui serait juste
Et je ne suis même pas sûr que vous donnera la pleine lotier knot- pourrait dépendre de quelle branche de $ \ arctan $ est choisi.
Vous pouvez essayer de résoudre pour $ t $ en termes de $ \ theta $ (semble dur), puis branchez que dans la formule pour $ r $, mais au mieux vous n'obtenir un bon $ r valeur $ pour chaque $ \ theta $, donc il ne sera pas le nœud complet trilobé.
Un épitrochoïde en deux dimensions peut donner une projection d'un noeud de minette, ou vous un juste faire une supposition. par exemple. $$ r = 2 + \ sin \ frac \ theta, \ quad \ theta \ in [0, 4 \ pi). $$