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Un théorème et un Conjecture
Théorème: anneaux borroméenne ne peuvent pas être réalisés en 3-D en utilisant des anneaux circulaires.
Preuve # 2:
(Ce qui est une isation 3D par moi de la preuve ci-dessus)
Compte tenu de tout arrangement de cercles en 3-D, vous pouvez régulièrement rétrécir les zones des cercles sans des cercles jamais se touchent, jusqu'à ce que chaque cercle est réduite à un point (donc rien « a traversé » il), après quoi vous pouvez retirer le cercle des autres (donc il n'a pas été lié à quoi que ce soit de quelque façon).
(Cela peut facilement être complètement rigoureux, si nous précisons que les cercles devraient diminuer de sorte que chacun reste dans un plan constant avec un centre constant, et la quantité de surface perdue par chaque cercle doit être égal au temps T qui est passé jusqu'à présent. Si les disques bornés par deux anneaux ne se croisent pas, les anneaux évidemment pas toucher car ils rétrécissent, de sorte que le seul cas intéressant est lorsque les disques ne se croisent. Si les disques sont dans le même plan, alors on est à l'intérieur du autre, et son rayon diminue plus rapidement, de sorte qu'ils ne répondront pas aux. Si les disques ne sont pas dans le même plan, puis, en regardant la ligne d'intersection, on peut facilement vérifier que deux points sur cette ligne d'un cercle rétrécissement rétrécissent comme s'ils étaient eux-mêmes le diamètre d'un cercle diminue, de sorte que ce cas peut être transformé de cette manière à un corollaire au cas où les cercles sont dans le même plan.)
Preuve # 3:
(Par Conway et moi-même)
Le disque délimité par un anneau (A) doit recouper une autre (B) (sinon il pourrait être réduit à un point sans frapper les autres), et doit donc recouper deux fois. Je vais dire gobe B. Alors clairement B ne peut pas avaler aussi A, B si C et C avale A. Les plans avale des anneaux A et B se croisent dans une ligne L - si cela est parallèle au plan de l'anneau C, en regardant ensuite le long de ce que nous voyons une image:
dans lequel nous pouvons voir que l'une « fin » de tout anneau peut être « rétréci » jusqu'à ce qu'il ne soit plus « avalé » (par exemple, l'extrémité inférieure de l'anneau C), de sorte que l'objet est manifestement pas borroméen.
. Si L frappe le plan de C en un point à l'extérieur du disque C Le même argument fonctionne - nous venons de projet de ce point (qui est juste l'intersection des plans de trois anneaux Le seul cas gauche est donc celui où la trois disques ont un point commun. Appelez-P. la puissance du point P (le produit des deux distances à un cercle donné sur une ligne par P et le cercle) sera toujours plus grande par rapport à la avaleur que par rapport à le swallowee, puisque P est à l'intérieur des deux disques. Chasing cette inégalité autour des trois cercles donne une contradiction, il est donc impossible de partager un point commun trois disques (ou plus) si chacun avale l'autre. Ainsi, un tel cas, en fait, ne peut pas se produire, donc nous avons fini.
Je conjecture que l'inverse est également vrai: Les anneaux sont la seule chose que vous ne pouvez pas faire des bagues Borromées sur.
Ainsi, compte tenu des trois courbes fermées simples dénouée en 3-D, ils peuvent toujours être disposés dans un arrangement borroméen à moins qu'ils ne sont allcircles.
Par exemple, essayez de faire un arrangement avec borroméen:- un cercle de taille moyenne, un très petit cercle, et une très grande place
- trois cercles congruents mais l'un d'eux est étiré très légèrement dans une ellipse
- trois formes « -couture balle de tennis »