Division équitable

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Chapitre 13 dans le texte

Objectif. diviser un ou plusieurs objets entre deux ou plusieurs parties de façon équitable.

Une répartition entre les joueurs n est
  • proportionnel. chaque joueur reçoit une pièce qui il / elle perçoit comme étant d'au moins 1 / n de l'ensemble (par exemple un même nombre de points).
  • envie libre. chaque joueur reçoit une pièce qu'il considère au moins à égalité pour le plus grand ou le plus précieux (aucun joueur serait plus heureux avec ce qu'un autre joueur a reçu).
  • optimal au sens de Pareto. aucune autre allocation, est arrivé à par tout moyen peut faire un parti mieux sans faire l'autre partie moins bien lotis.


Le gagnant ajusté Procédure:

Problème:
Il y a un différend entre deux parties. dire Donald Trump et Ivana sur un ensemble d'actifs:
un hôtel particulier du Connecticut, une maison de Palm Beach, un appartement Trump Plaza, un triplex Tour Trump, et l'argent / bijoux.
Trouver une façon « juste » et équitable de diviser la propriété.

Juste. chaque joueur reçoit ce qu'il / elle perçoit au moins la moitié de la valeur totale des actifs.

Solution Algorithme:
1. chaque partie distribue 100 points sur les éléments d'une manière qui reflète leur valeur par rapport à cette partie.

hôtel Palm Beach

appartement Trump Plaza

Trump Tower triplex

Trésorerie et jewely

2. Dans un premier temps donner chaque élément à la partie qui lui attribue plus de points.
Tally le total des points.
La partie la somme inférieure est donnée les points sur lesquels les deux parties placées le même nombre de points.
Tally le total des points.

hôtel Palm Beach

Trump Tower triplex

appartement Trump Plaza

Donc, Ivana obtient l'argent et des bijoux. Son nouveau total: 70. Elle est toujours le perdant. 3. Si le total des points ne sont pas égaux, transférer des articles (articles) fractions du vainqueur au perdant par une méthode spéciale jusqu'à ce que le nombre total de points sont égaux.

4. Méthode:
passer par les éléments figurant sur la liste du gagnant et de calculer le ratio de points:

(Valeur du point de gagnant pour l'élément) / (valeur du point de perdant pour l'élément)

hôtel Palm Beach

Trump Tower triplex

Transfert (une partie fractionnaire de) éléments afin d'augmenter le rapport de points.

Ainsi, le Donald doit remettre une partie x de sa maison de Palm Beach. Il maintient la partie 1 - x de sa valeur de la maison.

Quelle partie? La partie qui ferait le point des totaux égaux.

total après le transfert de points de Donald

total après le transfert de points de Ivana

38 + 30 + 20 + 2 * x

Ces deux quantités doivent être les mêmes.
Résoudre pour x.

x = 2/15.
Ensuite, le total des points respectifs sont tous deux égaux: 72,67.
Chacun de Donald et Ivana voir qu'il / elle obtient 72,67% de la valeur totale. C'est juste et équitable. Quelle est la répartition du gagnant ajusté?

Théorème. L'allocation ajustée gagnant est équitable, l'envie libre et optimale au sens de Pareto.

Problème. Supposons que Calvin et Hobbes découvrent un bateau de pirates et doivent partager leur butin. Ils attribuent des points comme suit:


Diviser et choisir 2 parties.

La partie A divise l'objet en deux parties. Partie B choisit whicever partie qu'elle veut.

dans la convention de la loi de la mer.

Procédures de la section du gâteau:

Méthode Diviseur Lone (par Hugo Steinhaus) pour 3 joueurs: Bob, Carol, Ted
Bob divise le gâteau en 3 morceaux: X, Y, Z
Cas 1: Carol approuve X
Ted approuve Y
donner à Bob Z
Cas n ° 2: Carol et Ted approuvent tous deux de X, et les deux désapprouvent Z
fusionner X et Y, XY est supérieur à 2/3
laissez Carol et Ted faire une division et choisir pour 2 sur XY
donner à Bob Z
  • garantit la proportionnalité
  • pas nécessairement sans envie
Solution Problème 23
Procédé dernier Diminisher (par Stefan Banach et Bronislaw Knaster)
    pour 4 joueurs: Bob, Carol, Ted, Alice.
    Bob coupe un morceau qu'il pense est 1/4.
    Si Carol pense qu'il est> 1/4, elle ajoute qu'elle les garnitures et les garnitures sur le gâteau restant.
    Si Carol pense qu'il est <= 1/4, she passes it to Ted.
    Ted procède comme Carol a fait et passe à Alice.
    Alice procède comme Carol et Ted a fait et il remet alors à la dernière personne qui rogné ce (qui doit penser qu'il est exactement 1/4).
    Cette personne sort.

Nous sommes partis avec 3 personnes qui pensent qu'au moins 3/4 du gâteau sont laissés.
dire à nouveau Carol arrive à couper un morceau qu'elle pense 1/4 et l'autre 2 get de rogner / pas couper.
etc.

Nous nous retrouvons maintenant avec 2 personnes qui font une division et de choisir.
  • proportionnel
  • non sans envie
    • L'envie vient quand Bob sort d'abord, puis il sent les tranches plus tard sont plus grandes que le sien.

    Les joueurs Selfridge-Conway Methodthree: Bob Carol, Ted
    1 Bob coupe le gâteau en trois morceaux qu'il considère être de la même taille.
    2 Alice garnitures au plus un morceau pour créer un lien pour le plus grand, abstraction faite des garnitures.
    3 Ted choisit une qu'il considère être au moins à égalité pour le plus grand.
    4 Alice choisit les morceaux restants. Si elle coupé l'une des pièces restantes à l'étape 2, elle doit choisir maintenant.
    5 Bob reçoit le dernier morceau.

    Cela laisse les garnitures T
    puisque Bob a reçu une pièce inculte, il n'envier à personne mais T est alloué.
    Dites Ted a reçu une pièce découpée.
    Laissez Alice T couper en morceaux d'arbres qu'elle considère égale.
    Choisissez une partie des garnitures dans cet ordre: Ted, Bob Alice est à la fois ce que l'envie aswell proportionnelle libre.

    problème 29

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