Étudiant - s t Distribution, STAT 414
Par ailleurs, la distribution t a été découvert par un homme nommé W.S. Gosset. Il a découvert la distribution lorsque l'on travaille pour une brasserie irlandaise. Parce qu'il a publié sous le pseudonyme d'étudiant, la distribution t est souvent appelée la distribution t de Student.
Histoire de côté, la définition ci-dessus est sans doute pas particulièrement instructif. Essayons d'avoir une idée de la distribution de t par la simulation. Nous allons générer aléatoirement 1000 valeurs normales standard (Z) et 1000 valeurs de chi carré (3) (U). Ensuite, la définition ci-dessus nous dit que, si nous prenons ces valeurs générées au hasard, calculer:
et créer un histogramme des valeurs 1000 T résultantes, nous devrions obtenir un histogramme qui ressemble à une distribution de t avec 3 degrés de liberté. Eh bien, voici un sous-ensemble des valeurs résultant d'un telle simulation:
Notez, par exemple, dans la première rangée:
Voici ce que l'histogramme résultant des valeurs de 1000 T (3) générées aléatoirement ressemble, avec une courbe standard N (0,1) superposées:
Hmmm. Le t -Distribution semble être tout à fait similaire à la distribution normale. En utilisant la formule donnée ci-dessus pour la p.d.f. de T. on peut tracer la courbe de densité de différentes t variables aléatoires, dire quand r = 1, r = 4, et r = 7, de voir que tel est bien le cas:
(1) Le support semble être -∞ < t < ∞. (It is!)
(2) La distribution de probabilité semble être symétrique par rapport à t = 0. (Il est!)
(3) La distribution de probabilité semble être en forme de cloche. (C'est!)
(4) La courbe de densité ressemble à une courbe standard normale, mais les queues de la t -distribution sont « lourds » que les queues de la distribution normale. Autrement dit, nous sommes plus susceptibles d'obtenir -values extrêmes t que -values extrêmes z.
(5) Comme les degrés de liberté augmente r, t -Distribution semble approcher la norme -Distribution normale z. (Cela fait!)
Comme vous le verrez bientôt, nous aurons besoin de regarder t -values, ainsi que les probabilités concernant T variables aléatoires, assez souvent dans Stat 415. Par conséquent, nous ferions mieux de nous assurer que nous savons comment lire une table de t.
Le tableau t
Si vous jetez un coup d'oeil au tableau VI dans le dos de votre livre de texte, vous trouverez ce qui ressemble à une table t typique. Voici ce que le haut du tableau VI ressemble (bien, moins la trame de fond que je l'ai ajouté):
Le t -table est similaire à la table de chi-carré en ce que l'intérieur de la t -table (ombrée en violet) contient les t -values pour différentes probabilités cumulatives (ombrée en rouge), tels que 0,60, 0,75, 0,90, 0,95 , 0,975, 0,99 et 0,995, et pour diverses distributions de t avec des degrés de liberté r (ombrée en bleu). La ligne hachurée en vert indique la probabilité de α supérieure qui correspond à la probabilité cumulée de 1-α. Par exemple, si vous êtes intéressé par soit une probabilité cumulée de 0,60, soit une probabilité supérieure de 0,40, vous aurez envie de chercher le t -value dans la première colonne.
Utilisons le t -table lire quelques probabilités et t -values hors de la table:
Jetons un coup d'oeil à quelques exemples.
Soit T suivre un t -Distribution avec r = 8 df. Quelle est la probabilité que la valeur absolue de T est inférieure à 2,306?
Solution. Le calcul de probabilité est tout à fait semblable à un calcul que nous aurions à faire pour une variable aléatoire normale. Tout d'abord, la réécriture de la probabilité en termes de T au lieu de la valeur absolue de T. nous obtenons:
Ensuite, nous avons de réécrire la probabilité en termes de probabilités cumulées que nous pouvons effectivement trouver, qui est la suivante:
Schématiquement, la probabilité que nous cherchons ressemble à ceci:
Mais le t -table ne contient pas -values t négatifs, donc nous allons devoir profiter de la symétrie de la distribution T. C'est:
Pouvez-vous trouver les -values t nécessaires sur le t -table?
Le t -table nous dit que P (T < 2.306) = 0.975 and P (T > 2,306) = 0,025. Donc:
Solution. La valeur t0.05 (8) est la valeur t0.05 de telle sorte que la probabilité qu'une variable aléatoire T avec 8 degrés de liberté est supérieure à la valeur t0.05 est de 0,05. C'est:
Pouvez-vous trouver la valeur t0.05 sur le t -table?
Nous avons déterminé que la probabilité qu'une variable aléatoire T avec 8 degrés de liberté est supérieure à la valeur 1,860 est de 0,05.
Pourquoi allons-nous rencontrer une variable aléatoire T?
Étant donné un échantillon aléatoire X1. X2. Xn d'une distribution normale, nous savons que:
Plus tôt dans cette leçon, nous avons appris que:
suit une distribution chi-carré avec n -1 degrés de liberté. Nous avons aussi appris que Z et U sont indépendants. Par conséquent, en utilisant la définition d'une variable aléatoire T, nous obtenons:
Il est la quantité résultante, qui est la suivante:
qui nous aidera, dans Stat 415, d'utiliser une moyenne d'un échantillon aléatoire, qui est \ (\ bar \), d'apprendre, avec confiance, quelque chose sur la moyenne de population μ.