Gauss et élimination Décomposition LU
Préparer des questions pour la session d'examen la prochaine fois
Que vous le sachiez ou non vous avez utilisé pour résoudre l'élimination de Gauss systèmes d'équations linéaires. Ce que vous considériez probablement jamais est que la méthode peut être abordée de manière très systématique, ce qui permet la mise en œuvre dans un programme informatique. Il est aussi important le fait que l'effort supplémentaire très minime, le programme d'élimination de Gauss peut être améliorée pour effectuer la matrice inférieure-supérieure factorisation (écrire une matrice non singulière en tant que produit d'une triangulaire inférieure et une matrice triangulaire supérieure).
Nous avons écrit un ensemble d'équations linéaires avec la notation suivante pour les coefficients
Dans la notation de la matrice de l'algèbre linéaire, ces équations peuvent être écrites comme:
Nous allons Étalez un ensemble spécifique d'équations dans ce format.
Ensuite, je trouve que je besoin de multiplier la première équation par 2 de sorte que la soustraction élimine le coefficient de la ligne 3 colonne 1. Le résultat de cette élimination, y compris la comptabilité est:
Maintenant, je dois éliminer le coefficient dans la ligne 3 colonne 2. Ceci peut être accompli en multipliant l'équation dans la ligne 2 par 2/5 et en la soustrayant de l'équation dans la ligne 3.
À ce stade, nous avons terminé l'élimination Gauss et par substitution de retour constater que
Maintenant, regardons la raison de ces petits nombres où les zéros serait assis sous la forme finale de la matrice. Je peux définir une matrice triangulaire inférieure L en combinant ces chiffres avec des 1 le long de la matrice diagonale pour obtenir:
et je peux également écrire une matrice triangulaire supérieure à partir des résultats de base de l'élimination de Gauss
Je revendique que le produit de la matrice LU est égale à la matrice de coefficients d'origine pour mes équations.
Vérifions ma demande que le produit de L et U est égale à la matrice de coefficient original pour les équations linéaires, et en même temps définissent clairement la multiplication de matrices. Je vais nommer le produit A et ses coefficients individuels j par intérim. Les coefficients de L sont li j et celles de U sont ui j. La définition générale du produit de la matrice est:
où n est le nombre de lignes d'u (nombre d'inconnues). Ici n = 3. En ce qui concerne le produit peut plus simples être écrit comme une combinaison de produits vecteur de matrice. La première colonne de A est le résultat de la multiplication par L dans la première colonne U:
La deuxième colonne A est le produit de L et la seconde colonne de U:
La troisième colonne A est le produit de L et la troisième colonne du U:
En combinant les colonnes donne:
En Fortran, peut être réalisé le produit de la matrice ci-dessus avec le sous-programme suivant.
L'utilisation de ce sous-programme de type ou structure de boucle n'est pas une bonne idée quand Fortran 90 est disponible, parce que vous avez une matrice qui se multiplient disponibles presque toujours sera mis en œuvre plus efficacement que toute compilation de votre Fortran. Pour les tableaux établis par un "REAL A (3,3), L (3,3), U (3,3)" vous faites la multiplication avec la ligne suivante:
Gain de temps associés à des choses comme la matrice multiplications peut être un très gros problème dans de nombreuses applications. Si vous regardez la matrice ci-dessus Fortran se multiplient, vous verrez que l'opération prend n 3 et multiplie le même nombre d'ajoute. Vous ne devez pas arriver à de très grandes matrices ou une utilisation très fréquente de la matrice se multiplient avant que vous cherchez à réaliser d'importantes économies en temps d'ordinateur en utilisant une fonction optimale codées comme MATMUL.
Pour plus d'informations à ce sujet, je vous recommande de jeter un coup d'oeil au chapitre 19 de « Advanced Engineering Mathematics » par Erwin Kreyszig, ou parcourir les méthodes numériques et linéaires livres d'algèbre dans la bibliothèque jusqu'à ce que quelque chose vous semble clair.