Le Gymnote, et autres condensateurs à géométrie variable
Le Gymnote,
et autres condensateurs à géométrie variable
John Denker
Nous commençons par faire quelques exercices d'échauffement, d'établir une terminologie et de construire une compréhension de base des condensateurs exotiques, y compris les situations où il est à la fois une capacité mutuelle et une auto-capacité.
* Contenu
1 # Xa0; # Xa0; Warm-Up Exercice: gorging et dégorgement un condensateur
Nous passons maintenant à la partie B de la figure # Xa0; 1. Comme précédemment, il y a une charge de +4 unités sur l'hémisphère supérieur. mais maintenant il est charge nulle sur l'hémisphère inférieur. Nous supposons que l'écart est si faible que la capacité mutuelle entre les hémisphères est énorme par rapport à l'auto-capacité. On peut comprendre (par symétrie ou autre) que les 4 unités de charge se répartir uniformément sur la sphère. Dans le champ lointain, les expositions sur le terrain (à l'ordre d'attaque) un champ de modèle de monopôle, qui est ce que nous attendons de +4 unités de charges. Il y aura aussi un terme dipolaire, en raison de la différence de tension entre les deux hémisphères, mais dans le champ lointain, par rapport au terme de monopôle, le terme dipolaire sera négligeable. Nous pouvons comprendre cela comme suit: Il y aura un champ important dans l'écart, mais parce que l'écart est faible la capacité mutuelle est grande, de sorte que la différence de tension entre les hémisphères sera faible.
Maintenant, nous arrivons à la partie la plus délicate. Considérez le contraste suivant:
- Supposons que nous disons objet C est une sphère, et nous demandons à quel point la charge est sur la sphère. La réponse, évidemment, est charge nulle. Pour être plus précis, vous pouvez parler de la charge totale ou la charge nette ou la charge honnête à la bonté. mais il semble plus simple et préférable d'appeler juste frais.
- Supposons que nous disons objet C est un condensateur, et nous demandons combien #XAB; la charge # XBB; est sur le condensateur. La réponse, selon la convention établie depuis longtemps, est que le condensateur a +4 unités de #XAB; la charge # XBB ;. j'écris #XAB; la charge # XBB; en alerte cite ici, parce que nous avons un problème.
Notez que ce que nous avons ici est un cas particulier du condensateur à trois bornes: l'hémisphère supérieur, l'hémisphère inférieur, et la contre-électrode lointaine. La terminologie de la charge et de la gorge est pas particulièrement bon pour la manipulation des condensateurs à trois bornes en général. mais le cas, nous avons considéré ici est si très commun qu'il vaut la peine d'avoir des outils spéciaux pour manipuler.
2 # Xa0; # Xa0; Echauffement Exercice: condensateur près d'un mur, ou pas
2.1 # Xa0; # Xa0; La situation
Tenez compte de la situation dans la figure # Xa0; 2. Il y a une salle avec des murs conducteurs (en bleu). Le plancher de la chambre est X par X. La hauteur de la chambre est Y. centrée sur le milieu de la piste est un mince disque métallique de rayon r (en rouge). Le disque est horizontal à une hauteur h au-dessus du sol. Il y a une charge Q sur le disque. et de manière correspondante une charge # X2212; Q sur les parois de la chambre. Le disque est pas très grande, et la salle est beaucoup plus large que haut, de sorte que X # X226B; Y # X226B; r.
Le disque a une poignée isolante, de sorte que vous pouvez changer arbitrairement h sans changer Q.
Faire toutes les hypothèses simplificatrices raisonnables que vous aimez. (Remplacement des parois conductrices avec des parois non conductrices ne serait pas considéré comme raisonnable.)
Comme une instance numérique spécifique, définissez
Chargez le disque à 1,5 volts à l'aide d'une batterie, puis débrancher la batterie. Soulever le disque (Q maintenir constante pendant la phase du processus). Qu'advient-il de la tension?
Encore une fois, le point est que, après avoir fait cet exercice d'échauffement, vous devriez avoir une chance de combat de déterminer comment fonctionne electrophorus.
2.2 # Xa0; # Xa0; dipôles mutuelle capacitance
Nous partons du principe hardiment que le fond du disque combine avec le sol pour former un condensateur. et en ce que la partie supérieure du disque se combine avec le plafond pour former un autre condensateur. Nous avons un circuit avec ces deux condensateurs en parallèle.
Soit Q 1 soit la charge sur le condensateur inférieur, et Q 2 soit la charge sur le condensateur supérieur. Que les capacités correspondantes soient en C 1 et C 2.
2.4 # Xa0; # Xa0; Combinaison des résultats
La courbe verte solide à la figure # Xa0; 3 est une interpolation approximative entre les deux modèles simples. Cette interpolation se fait en ajoutant simplement les deux capacités. Ceci est certainement une surestimation de la capacité, et donc une sous-estimation du V / Q. à-dire une limite inférieure de la tension que nous pouvons réaliser en manipulant le disque. Les courbes en pointillés dans la figure # 3 Xa0, servent une limite supérieure. Une discussion générale de disque circulaire condensateur à plaques parallèles, y compris les champs de frange, peut être trouvé dans la référence # Xa0; 3. Il n'y a pas solution simple forme fermée pour le cas général.
On obtient une meilleure estimation en ajoutant les deux capacités en quadrature. Ceci est illustré par la courbe bleue dans la figure. Ceci correspond à l'aide de la Riesz (ou Lebesgue) norme L 2. Il se trouve entre les plus simples (la norme L 1) et prenant le moindre des deux contributions (L # X221E; norme).
TODO: comparer cette approche algébrique approximative de faire les réelles intégrales, comme référence # Xa0; 3.
Cela nous dit que, dans une gamme de conditions assez large, la hauteur de la pièce est presque hors de propos. Cependant, nous ne savons ce que nous avions est pas fait le calcul dans la section # Xa0; 2.2. Les échelles de longueur pertinentes sont soit < r and h > ou < r and Y − h >. à moins que le disque est très grand et / ou le plafond est très faible. Pour dire la même chose d'une autre manière, l'intégrale sur les champs frangeants converge assez rapidement.
3 # Xa0; # Xa0; Une Gymnote réelle
Il est important que le diélectrique assis sur un support isolant, une distance beau de tout objet mis à la terre. En d'autres termes, dans la situation représentée à la figure # Xa0; 4. la capacité est dominée par la capacité d'auto-plaque unique. A noter également que la charge sur le diélectrique n'est pas mobile. Les lignes de champ électrique (en vert) étendent au-dessus et au-dessous du diélectrique, de partir # X201C; à l'infini # X201D; comme ils le devraient dans une situation d'auto-capacité.
Dans la situation représentée à la figure # Xa0; 5. il y a une combinaison délicate de deux choses qui se passent. La moitié de l'histoire consiste à traiter les deux plaques de condensateur à plaques parallèles, avec le type habituel de capacité mutuelle. Chaque plaque de ce condensateur entraîne une majoration de # XB1; 4 unités. L'autre moitié de l'histoire consiste à traiter les deux plaques ensemble comme si elles étaient une seule plaque légèrement plus épais, qui présente une capacité propre. Cet objet porte une charge combinée de # X2212; 8 unités.
Figure # Xa0; 6 montre la situation après que la plaque mobile a été mise à la terre, et après le retrait du fil de mise à la terre. La situation est entièrement dominée par la capacité mutuelle à deux plaques. Le diélectrique est à une légère tension par rapport à la masse, mais étant donné que l'écart de condensateur est faible et la capacité est énorme, cette tension est relativement faible.
Une fois que le diélectrique a été rechargé, il peut dans certaines conditions être utilisé encore et encore pour induire la charge sur le disque mobile.
4 # Xa0; # Xa0; auto-capacitance d'une sphère et un disque
4.1 # Xa0; # Xa0; Sphère
Nous commençons par considérer l'auto-capacité d'une sphère:
Cela signifie que nous pouvons considérer la sphère d'être analogue à un condensateur à plaques parallèles, avec une zone appropriée et espace:
La superficie d'une plaque
La superficie totale de la sphère
(Sans compter l'autre plaque).
(Sans compter le contre-lointain).
L'écart réel entre les plaques.
Un # X201C; écart efficace # X201D;
égal au rayon de la sphère.
Cela peut être considéré comme un moyen mnémotechnique pour se rappeler la formule de la capacité d'une sphère. Elle produit la formule exactement correcte.
4.2 # Xa0; # Xa0; disque
La manière habituelle pour calculer la capacité d'un disque mince est de commencer avec une sphère et ensuite le transformer en un ellipsoïde à l'aide des coordonnées orthogonales appropriés. Cela peut être considéré comme une transformation conformationnelle. Voir la référence # Xa0; 2.
Cependant, dans l'esprit de raisonnement qualitatif, nous pouvons obtenir une assez bonne estimation de la capacité du disque à l'aide d'une transformation plus simple. Ceci est en quelque sorte un argument de mise à l'échelle. Nous hésitons la sphère dans la direction Z, mais pas dans la direction X ou Y.
Une autre façon d'interpréter le même résultat est de dire que la charge sur le disque est plus concentré (pas uniformément répartie) par rapport à la sphère, de sorte que l'écart efficace est plus petit que vous pourriez avoir deviné, plus petit d'un facteur # X3C0; / 4.
Notez que la zone appropriée comprend les deux faces du disque.
5 # Xa0; # Xa0; condensateur asymétrique. Plaque disque +
Plus précisément, considérons la situation montre la figure # Xa0; 9. Nous avons un condensateur asymétrique constitué d'un disque plat de taille moyenne, quelque part près d'une dalle plate énorme.
Etape 1: Mon intuition physique dit que lorsque le disque est très près de la dalle, la capacité est la même que ce serait pour un simple symétrique condensateur à plaques parallèles à deux disques.
Dans ce cas, « proche » signifie g est très faible par rapport à (# X3C0; / 8) r. où g est l'espace de condensateur et r est le rayon du disque.
Étape 2: Lorsque le disque est loin de la dalle, la capacité de l'installation dans son ensemble doit être le même que l'auto-capacité du disque.
Justification: Pour capacitances en série, nous devrions être en mesure d'ajouter les élastances (à savoir les capacités de inverse). Ceci est analogue à la règle pour ajouter des résistances en série. La plaque a zéro élastance (de capacité infinie) de sorte que le élastance de la situation globale est dominée par l'élastance du disque.
Le facteur 2 se pose pour une raison prosaïque, à savoir que nous mesurons maintenant la tension du disque inférieur au disque supérieur, plutôt de la dalle sur le disque. Deux fois plus par unité V Q signifie deux fois plus d'élastance.
Par symétrie et / ou par la méthode des images, qui doit être le même que
Dans la limite grand écart, le élastance ici est juste la combinaison série de l'auto-élastance de deux disques. De ce que nous obtenons le résultat final, à savoir que la capacité de la situation asymétrique original (disque plus plaque) doit être le double de la capacité de la situation symétrique correspondant / un / double fente.
Dans le cas de faible écart les deux facteurs de deux annuler, de sorte que le disque dalle + a la même capacité que le disque dur + (avec le même écart) comme prévu. L'écart devient plus grande, le cas asymétrique commence à approcher le grand écart asymptote deux fois plus dès que vous l'aurez deviné en regardant naïvement à la formule symétrique.
Étape 5: Il y a un morceau de l'intuition qui est implicite dans toutes les étapes précédentes. Pensez à la limite extrême à grand gap. Zoom sur votre point de vue afin que le disque devient essentiellement un seul point. Vous savez comment le champ électrique d'une charge ponctuelle diminue avec la distance. Vous savez que l'énergie du champ Poyinting va comme la place du champ. Si vous intégrez cette énergie sur tout l'espace, en commençant à une certaine distance pas trop petite R loin du disque, puis l'intégrale converge. Ainsi, l'intuition est que tout ce qui se passe dans le champ lointain ne compte beaucoup pour des problèmes de electrostatics.
Pour plus sur la physique de la capacité, y compris les condensateurs de forme irrégulière, voir la référence # Xa0; 5