Le - Icosahedron
L'icosaèdre a 12 sommets, 20 faces et 30 côtés. Il est l'un des plus intéressant et utile de tous les polyèdres. Buckminster Fuller a basé ses conceptions de dômes géodésiques autour de l'icosaèdre.
OK, permet de passer par l'analyse habituelle puis obtenir sur les choses intéressantes!
Le volume de chaque pyramide est 1/3 * Surface de la hauteur de la pyramide de base *.
La superficie de la base est l'aire du triangle équilatéral BAD.
La hauteur de la pyramide est OM.
De triangle équilatéral nous savons que la région est
Tous les sommets de l'icosaèdre (comme avec tous les 5 des solides réguliers) se trouvent sur la surface d'une sphère qui l'enferme. Le rayon de la sphère circonscrite est O à un sommet quelconque, dans ce cas,
r = OA = OB = DO = 1.
La hauteur de la pyramide est h = OM.
Pour trouver h, nous devons reconnaître que l'un des triangles OMA, CAMO, ont raison OMD.
En effet, l'OM est perpendiculaire au plan du triangle ABD par construction.
AB = AD = BD = côté de icosaèdre = s.
Travaillons avec triangle OMD:
FK =. r = d / 2 et r = s.
Maintenant, nous pouvons trouver h, la hauteur de la pyramide.
Pour en revenir à la figure 5 et la figure 6, on peut écrire:
hІ = OMІ = rІ - DMІ =
est la hauteur de la pyramide icosaèdre.
Il y a 20 pyramides, 1 pour chaque face si
= = 2.181694991sі.
Quelle est la superficie de l'icosaèdre?
Il est juste la zone de 1 visage * 20 visages. La surface de chaque face est, de dessus,.
Alors
Nous avons déjà noté la relation entre le rayon de la sphère englobante et du côté de l'icosaèdre:
r = .951056517s, s = 1.051462224r.
La face ou le bord de l'icosaèdre est légèrement plus grand que le rayon.
Quel est l'angle central de l'icosaèdre?
L'angle central, date de naissance, peut être vu clairement sur la figure 5, et nous le diagramme de la figure 8 ci-dessous.
sin (XOB) =
XOB = = 31.7174744 °. Date de naissance = 2 * XOB.
Nous reconnaissons que notre triangle OXB vieil ami Phi triangle rectangle. De là, nous savons que OX / XB =.
angle central = 63.4349488 °
les angles de surface = 60 °
la distance de centre de gravité à la mi-face = = 0.755761314s.
la distance de centre de gravité à la mi-side = = 0.809016995s.
la distance de centre de gravité à un sommet = = 0.951056517s.
Comparaison des distances, nous avons .755761314s. 809016995s. 951056517s.
Rappelez-vous que la distance DI = FK = BG, etc. est la diagonale de l'un des rectangles dont la Icosa se compose. L'un de ces rectangles est clairement visible dans la figure 12, comme BFGK. Nous savons que c'est un rectangle, car il est la diagonale du pentagone ABCEF.
En fait, si vous placez 3 de ces rectangles perpendiculaires les uns aux autres, les 12 coins des 3 rectangles sont les sommets de l'icosaèdre!
Un fait intéressant apparaît ici: FQ = QZ. Cela signifie que la distance d'un plan pentagonal à l'autre est précisément le rayon du cercle qui entoure le pentagone!
Qu'est-ce que OQ?
Il ressemble à OQ est juste la moitié de celle de QZ, ou s. Mais est-il? Découvrons-le.
Nous savons OD = r = d'en haut.
OQ = OD - DQ =
QO = s. Nous aurions pu obtenir ce plus facilement du fait que
DQ = Oui, OQ est exactement un demi QZ.
En outre, OQ / DQ = = 0,951056517
Tableau des relations
Figure 14. relations axe central (diamètre) = diamètre DI
(Disponible dans le livre).
DZ est divisé en DME par Q, QI est divisé en DME par Z.
Toutes ces relations viennent du pentagone!
A l'extérieur de l'icosaèdre, nous voyons des triangles équilatéraux. Mais le courage de ce polyèdre vient des relations pentagonales. Les triangles équilatéraux viennent au sujet de la levée du sommet « plafond » pentagonal hors du plan pentagonal.
Il est maintenant question que la base de la construction de l'icosaèdre est le pentagone.
Les côtés des triangles équilatéraux EHB et JGC sont tous de pentagones diagonales!
EH est une diagonale de pentagone FEJIH, EB est une diagonale de pentagone DEJKB et HB est une diagonale de pentagone AHIKB.
Tableaux de référence Icosaahedron
(Inclus dans le livre)
