Mathématiques, l'applicabilité, Internet Encyclopédie de la philosophie
Comme philosophes, notre premier objectif devrait être de clarifier les différents problèmes liés à l'application des mathématiques. Cet article propose quelques solutions possibles à ces problèmes. L'article 1 considère une version du problème d'application liée à ce qu'on appelle souvent « Constraint Frege », qui est le point de vue qu'un compte adéquat d'un domaine mathématique doit expliquer l'applicabilité de ce domaine en dehors des mathématiques. L'article 2 porte sur le rôle des mathématiques dans la formulation et la découverte de nouvelles théories. Cela laisse plusieurs différentes contributions potentielles que les mathématiques pourraient faire à la science tels que l'unification, l'explication et la confirmation. Ceux-ci sont examinées à la section 3, où il est suggéré qu'une approche fragmentaire à la compréhension de l'applicabilité des mathématiques est la stratégie la plus prometteuse pour les philosophes à poursuivre.
Table des matières
1. Raisonnement
Gottlob Frege (1848-1925) reste l'un des philosophes les plus influents des mathématiques et est considéré par beaucoup comme le premier philosophe dans la tradition analytique. Le principal objectif de Frege était de plaider pour un compte logiciste de l'arithmétique. Telle est l'opinion que tous les concepts peuvent être définis arithmétiques en termes tout à fait logique et que toutes les vérités arithmétiques peuvent être prouvés en utilisant uniquement les ressources logiques. Bien que cette caractérisation de logicisme ne fait aucun lien à l'applicabilité de l'arithmétique, Frege a soutenu que le bon compte des nombres naturels doit rendre leur rôle dans le comptage transparent. Il est difficile de trouver un argument pour cette exigence dans les écrits de Frege, bien que, ou de comprendre ce qu'il faut vraiment répondre. Après avoir examiné quelques interprétations possibles de la demande de Frege, cette section examine les interprétations structuralistes des mathématiques qui rejettent l'approche de Frege.
En ce sens de « l'applicabilité », il est assez incontestable que les mathématiques est applicable; et nous pouvons accorder que toute philosophie viable des mathématiques doit fournir un objet pour les réclamations mathématiques. Mais remarquez que l'argument de Frege contre le formalisme ne règle pas une vue en deux étapes d'application. Ce point de vue propose que les demandes mathématiques sont sur un domaine exclusivement mathématique et que ces allégations jouent un rôle dans les arguments scientifiques seulement parce qu'il ya des locaux qui relient le domaine mathématique à tout domaine non-mathématique la conclusion de l'argument est sur le point. En revanche, l'approche d'une étape de Frege insiste sur le fait que l'objet des mathématiques se rapporte directement à ce que les mathématiques est appliqué. Compte tenu de cette distinction, nous devons examiner comment Frege pourrait plaider en faveur de son approche en une seule étape. appel simplement au rôle des revendications mathématiques dans les arguments scientifiques ne suffit pas à écarter une approche en deux étapes.
Une autre vue qui cible Frege est John Stuart Mill « s empirisme à propos de l'arithmétique. Ceci est d'avis que l'objet de l'arithmétique est régularités physiques telles que les résultats de la combinaison des objets physiques pour former des agrégats plus grands. Frege insiste sur le fait que l'empirisme ne peut pas rendre compte de l'ampleur de l'applicabilité des mathématiques:
La base de l'arithmétique est plus profond, il semble, que celle de l'une des sciences empiriques, et même que celle de la géométrie. Les vérités de l'arithmétique régissent tout ce qui est dénombrables. Ceci est le plus grand domaine de tous; Car il appartient non seulement le réel, non seulement le intuitionnable, mais tout pensables. Ne devraient pas les lois du numéro, puis, être connectés très intimement avec les lois de la pensée? (Frege 1884, §14)
Par exemple, nous pouvons compter les chiffres ou les formes des syllogismes aristotéliciens valides. En supposant que ces chiffres ne sont pas des objets physiques, l'empiriste est sans explication de l'applicabilité de l'utilisation des nombres pour compter ces objets. propre proposition de Frege liée à l'applicabilité des nombres en comptant sur l'applicabilité d'un concept: « Le contenu d'une déclaration du nombre est une affirmation d'un concept » (Frege 1884, §46). Comme les concepts ont toutes sortes d'objets qui tombent sous eux, y compris les objets non-physiques tels que les figures du syllogisme, la vaste portée de l'applicabilité de l'arithmétique est pris en compte.
Le lien de Frege entre les chiffres, le comptage et les concepts ne suffit pas à donner une caractérisation satisfaisante de ce que les chiffres. Plus tard dans les fondations. Frege présente le principe de Hume comme une définition potentielle de ce que les chiffres. Ce principe est que le nombre de Fs est identique au nombre de Gs si et seulement si les objets qui tombent sous le concept F peuvent être mises en correspondance biunivoque avec les objets relevant du concept G. Avis que le principe de Hume fournirait une explication directe de la vaste portée de l'applicabilité de l'arithmétique en comptant pour cela fait l'identité des numéros tour sur les questions liées à quels concepts ces chiffres sont appliqués à. Avec le principe de Hume, un agent pourrait alors identifier chaque numéro à l'aide d'un tel concept et passer à raisonner sur efficacement.
2. Formulation et découverte
3. Unification, Explication et confirmation
Dans la philosophie de la science, beaucoup tentent de fournir une théorie de l'explication scientifique utilisant une notion d'unification, il est donc pas surprenant que la puissance des mathématiques à unifier implique pour certains que les mathématiques peuvent aussi expliquer les phénomènes physiques. Un exemple simple de c'est l'explication des raisons pour lesquelles il est impossible de traverser cet arrangement de ponts exactement une fois:
