Une introduction à Fourier Représentations de la série de signaux périodiques
Voici quelques objectifs pour cette leçon Etant donné un signal en fonction du temps, être en mesure de calculer les composantes de fréquence du signal.
Être en mesure de prédire comment le signal va interagir avec les systèmes linéaires et circuits en utilisant des méthodes de réponse en fréquence. Le premier but est vraiment d'être en mesure d'exprimer un signal périodique dans la langue de réponse en fréquence. Le deuxième objectif est d'être en mesure de prendre une représentation de fréquence d'un signal et d'utiliser cette représentation pour prédire la façon dont le signal va interagir avec les systèmes.
Pourquoi utiliser des représentations de fréquence Lorsque nous pouvons représenter tout avec le signal Fonctions temps?
Objectifs: Qu'est-ce que vous essayez de le faire dans cette leçon? Etant donné un signal en fonction du temps, être en mesure de calculer les composantes de fréquence du signal.
Être en mesure de prédire comment le signal va interagir avec linearsystems et circuits en utilisant des méthodes de réponse en fréquence. La série de Fourier
Il y a quelque temps, Fourier, faisant le travail de transfert de chaleur, a démontré que peut être vu tout signal périodique en tant que composition linéaire des ondes sinusoïdales. Regardons une onde périodique. Voici un exemple tracé d'un signal qui se répète à chaque seconde. Il est clair que ce signal n'est pas une sinusoïde - et il semble que cela n'a aucun rapport avec des signaux sinusoïdaux. Cependant, il y a un siècle, Fourier a montré qu'un signal périodique peut toujours être représenté comme une somme de sinusoïdes (et Sines, ou cosinus Sines avec des angles). Cette représentation est maintenant appelé une série de Fourier en son honneur.
Fourier non seulement a montré qu'il était possible de représenter un signal périodique avec sinusoïdes, il a montré comment le faire. En supposant que ce signal se répète toutes les secondes T, alors nous pouvons le décrire comme une somme de sinusoïdes. Voici la forme de la somme. Fourier a donné de manière explicite pour obtenir les coefficients dans une série de Fourier et nous devons regarder que dans un certain temps. D'abord, nous allons voir comment un signal peut être construit à partir d'une somme de sinusoïdes.
Voici ce signal à nouveau. Est-ce signal une somme de sinusoïdes? Nous examinerons cette question ici, en commençant par un seul signal sinusoïdal. Voici un seul signal sinusoïdal. L'expression de ce signal est juste:
Sig (t) = 1 * sin (2 p t / T) et T = 1 seconde.
Maintenant, nous allons ajouter un autre sinus à notre signal sinusoïdal d'origine. Le sinus, nous ajoutons sera à trois fois la fréquence de l'original et ce sera un tiers aussi grand. Sig (t) = 1 * sin (2 p t / T) + (1/3) * sin (p 6 t / T)
Cela ressemble un peu différent. Continuer en ajoutant un signal sinusoïdal plus - à cinq fois la fréquence d'origine et un cinquième de la taille d'origine.
Sig (t) = 1 * sin (2 p t / T) + (1/3) * sin (p 6 t / T) + (1/5) * sin (p 10 t / T)
Cela devient intéressant. Nous ajouterons simplement en termes à des multiples impairs de la fréquence d'origine. Voici ce que le signal ressemble aux termes au multiple de 11. Cela ressemble à une onde carrée assez moche. Ajoutons beaucoup plus de termes et de voir ce qui se passe.
Voici le signal avec des termes au multiple de 49e.
À ce stade, est semble que ce processus nous donne un signal qui se rapproche et plus proche d'un signal d'onde carrée. Cependant, cela ressemble à une onde carrée assez moche. Ajoutons beaucoup plus de termes et de voir ce qui se passe.
Voici le signal avec des termes impairs au multiple de 79e. Maintenant, nous allons obtenir une indication assez claire d'une onde carrée avec une amplitude un peu moins de 0,8. En fait, la façon dont nous construisons ce signal nous utilisons les résultats de Fourier. Nous savons que la formule de la série qui converge vers une onde carrée.
En fait, la façon dont nous construisons ce signal nous utilisons les résultats de Fourier. Nous savons que la formule de la série qui converge vers une onde carrée. Voici la formule. Pour une représentation parfaitement exacte, soit N aller à l'infini.
Maintenant, nous allons vous donner une chance de faire ce genre de vous-même l'expérience. Ci-dessous, une démonstration interactive qui vous permettra de contrôler le nombre de termes dans la somme ci-dessus. Dans la démo, vous pouvez également contrôler la fréquence.
E2 Dans la démo ci-dessus, procédez comme suit.- Commencez par un seul terme de la série et tracer la réponse. Un seul terme devrait vous donner un signal d'onde sinusoïdale avec une amplitude de 1,0.
- incrémenter lentement le nombre de termes de sorte que vous incluez le troisième harmonique (deux termes), la cinquième harmonique (trois termes), etc.
- La fonction approche une onde carrée.
- Y at-il quelque chose que vous remarquez sur le rapprochement, en particulier près de la discontinuité?
Calcul de la série de Fourier Coefficients A ce stade, il y a quelques questions que nous devons aborder. Voici quelques questions qui doivent répondre.
- Quel genre de fonctions peuvent être représentés en utilisant ces types de séries?
- En fait, la plupart des signaux périodiques peuvent être représentés par une série composée de sinus et cosinus. Même discontinuités (comme dans la fonction d'onde carrée ou la fonction en dents de scie dans les simulations) ne seront pas un problème insurmontable, bien que vous pourriez attendre (à partir des résultats de simulation) qu'il ya des phénomènes que nous devons tenir compte de droite aux discontinuités.
- Comment voulez-vous savoir ce que la série est pour une fonction donnée?
- C'est une question intéressante, et nous allons en discuter bientôt. Il y a des résultats mathématiques dont nous aurons besoin, mais vous devez être préparés pour cela.
- Y a-t-il des implications pratiques à tout cela?
- Etant donné que les fonctions peuvent être considérés comme étant composé de sinus à cosinus à des fréquences différentes, et étant donné que différents systèmes linéaires traiter des signaux sinusoïdaux d'une manière qui dépend de la fréquence, ces deux faits signifient que la réponse d'un système avec une entrée périodique peut être prédite en utilisant des procédés de réponse en fréquence.
- De nombreux signaux sont maintenant analysés à l'aide des concepts de composants de fréquence. des techniques de calcul spécifiques (en particulier la FFT ou Fast Fourier Transform) ont été développés pour calculer des composantes de fréquence rapidement pour différents signaux. Les signaux qui ont été analysés comprennent des signaux sonores dans les tremblements de terre, les vibrations du pont sous charge dynamique (ainsi que les vibrations de stress dans de nombreuses structures différentes de grands bâtiments aux vibrations des avions) et des signaux de communication (y compris les signaux eux-mêmes, ainsi que le bruit qui interfère avec la des signaux).
En général, un signal périodique peut être représenté comme une somme de deux sinus et cosinus. En outre, depuis et Sines ont pas cosinus moyen terme, des signaux périodiques qui ont une moyenne non nulle peuvent avoir une composante constante. Au total, la série devient celle ci-dessous. Cette série peut être utilisé pour représenter de nombreuses fonctions périodiques. La fonction f (t), est supposé être périodique.
Les coefficients, et un milliard. êtes ce que vous devez savoir pour générer le signal.
Pour calculer les coefficients que nous prenons avantage de certaines propriétés des signaux sinusoïdaux. Le point de départ consiste à intégrer un produit de f (t) avec l'une des composantes sinusoïdales comme représenté ci-dessous.
Maintenant, si nous supposons que la fonction f (t), peut être représenté par la série ci-dessus, on peut remplacer f (t) avec la série de l'intégrale.
, Nous notons ici les éléments suivants:- f = 1 / T,
- w o = 2 p f.
Donc, quand nous faisons l'intégration de la fonction f (t), multiplié par une fonction sinus ou cosinus, ils travaillent presque tous dehors à zéro. Le seul qui ne fonctionne pas à zéro est celui où n et m sont égaux.
Se rendant compte de tout cela, nous pouvons conclure:
Ce qui nous donne un moyen de calculer l'une des b dans la série de Fourier.
À ce stade, nous avons la moitié de notre problème résolu parce que nous pouvons calculer les b, mais nous avons encore besoin de calculer les A. Cependant, nous pouvons faire la même chose pour l'un est que nous avons fait pour les années b (et nous allons vous laisser faire vous-même) et nous obtenons les expressions suivantes pour les coefficients.
et ces expressions sont bonnes pour n> 0 et m> 0. Le seul coefficient non couvert est ao qui est donnée par:
Donc, maintenant que nous avons un moyen de trouver tous les coefficients dans une expansion de la série de Fourier. Appliquons ce que nous savons, par exemple. Exemple / Expérience
E3 Nous allons calculer la série de Fourier d'une impulsion générale qui se répète. La séquence d'impulsions est représenté ci-dessous. Le signal d'impulsion varie entre zéro volt et une volt.
Maintenant, pour évaluer les coefficients, nous faisons les intégrations indiquées ci-dessus. Nous avons ce qui suit.
Maintenant, nous pouvons calculer certains des coefficients pour un cas particulier. Nous examinerons la situation dans laquelle l'impulsion est élevée pour un quart de la période, à savoir quand T = Tp / 4. Dans cette situation, nous avons:
Notez que l'un de (les coefficients cosinus) seront tous zéro même pour n de, alors que (les coefficients sinus) du B sera zéro pour chaque quatrième n. Cela étant dit, les coefficients que nous avons calculés sont donnés dans le tableau ci-dessous. Pour ce tableau, nous avons pris une période de 4 secondes. Nous montrerons plus tard dans un simulateur en temps réel.
Maintenant, nous pouvons vérifier si ces coefficients produisent effectivement une impulsion. Voici un simulateur en temps réel qui vous permettra de vérifier que. Il a été pré-chargé avec les coefficients nous avons calculé ci-dessus pour produire une impulsion. Cependant, étant donné que nous utilisons seulement des harmoniques jusqu'à l'harmonique 10 e, il ne sera pas une représentation exacte.
Exécutez le simulateur pour vérifier si nous sommes proches. Ensuite, procédez comme suit.
Questions / Problèmes
En utilisant le simulateur, répondez aux questions suivantes
Q1 Est-ce que la forme d'onde avec 10 harmoniques ressemblent - avec plus d'harmoniques - il convergera à l'impulsion que nous avons commencé avec?
P1 Déterminer la valeur moyenne (à savoir la composante de courant continu) du signal.
E4 Ensuite, nous allons calculer la série de Fourier d'une onde triangulaire, comme illustré ci-dessous.