Ce que les moyens Origami
- Les faces d'un polyèdre sont ses côtés plats, dont chacun est un polygone.
- Les bords d'un polyèdre sont les bords de ses faces polygonales.
- Les sommets (au singulier: sommets d'un polyèdre) sont ses coins.
Solides platoniques et archimédiennes
Un solide régulier ou platonique est caractérisé par les propriétés suivantes:- Toutes ses faces sont des polygones réguliers identiques. (Un polygone est régulier si tous ses côtés sont égaux et tous ses angles sont égaux.)
- Le nombre de faces autour de chaque sommet est le même.
Un solide ou semi-régulier d'Archimède est caractérisé par les propriétés suivantes:
- Toutes ses faces sont des polygones réguliers, mais ils ne sont pas nécessairement tous identiques.
- La configuration des polygones autour de chaque sommet est le même.
De toute évidence, chacun des solides réguliers est également semi-régulière, mais il y a beaucoup de solides supplémentaires qui répondent à ces conditions plus souples. La plupart d'entre eux sont étroitement liés aux solides réguliers et peuvent être construits en coupant, en combinant, ou de fausser leurs parents platoniciens. Un grand nombre de ces solides hybrides sont modelés dans cet affichage.
Polyèdres représentée par les modèles suspendus
Maintenant, imaginez une nouvelle fois écartant les faces d'un cube, et imaginez que les faces carrées originales du cube et les triangles qui étaient autrefois les sommets du cube sont rigides comme des morceaux de métal et sont reliés aux coins. Si les carrés rigides sont tordus simultanément dans la bonne façon, les anciens bords du cube effondrement de places en paires de triangles équilatéraux, et le nouveau solide sera un cube retroussé. Les autres solides camus se présentent de la même façon.
Voici une autre série de camus modèles solides qui est colorée différemment, mais par ailleurs identique à celui de l'affichage Amherst.
double polyèdres
Symétries de polyèdres
En fait, ceux-ci comprennent toutes les symétries du cube à l'exception du mouvement banal, mais mathématiquement importante de laisser le cube où il est.
Les symétries d'un polyèdre reflètent sa structure et de la régularité. Un polyèdre est régulier s'il y a une symétrie prendre toute face à tout autre visage et une symétrie prenant un sommet à un autre sommet, et un polyèdre avec des visages réguliers est semi-régulière s'il y a une symétrie prendre un sommet à un autre sommet.
D'autres types de figures géométriques ont également symétries. Pour jouer avec symétries dans le plan, consultez l'Université du Minnesota programme Kali géométrie Centre. qui vous permet de faire des modèles qui correspondent à chacun des 17 groupes de papier peint.
permutation Groupes
Attention: Si vous avez déjà étudié des groupes de permutation, sachez que je ne suis pas en utilisant la notation standard pour les permutations ou pour l'opération de composition. Mais alors, si vous avez déjà étudié des groupes de permutation, vous pouvez sauter cette section.
Une permutation est un moyen de réarrangement d'un ensemble fini d'objets. Par exemple, on peut définir une σ de permutation de quatre objets par
σ: ABCD BCAD,
ce qui signifie que σ met la première lettre dans la troisième position, met la deuxième lettre dans la première position, met la troisième lettre dans la deuxième position, et laisse la quatrième lettre fixe.
Si nous avons deux permutations du même nombre d'objets, on peut les combiner pour former une troisième permutation. Prendre la permutation
τ: ABCD BADC,
qui échange les première et deuxième lettres et permute les troisième et quatrième lettres, et la permutation σ ci-dessus, nous pouvons créer une nouvelle permutation, que nous noterons σ * σ, en effectuant σ et τ. C'est,
σ * τ: ABCD BCAD CBDA.
Les permutations d'un nombre fixe d'objets en même temps que l'opération * ont la structure mathématique d'un groupe. Ci-dessous sont énumérées les propriétés qui rendent les permutations dans un groupe; offert à titre de comparaison sont les propriétés correspondantes du groupe plus familier des nombres réels avec le + d'opération.
Prenons comme exemple le cube modèle, dans lequel les parties blanches ne doivent pas être considérés comme une couleur à ces fins. la permutation
correspond à une rotation de 90 ° autour d'un axe passant par les centres des faces avant et arrière, la permutation
correspond à une rotation autour d'un axe passant par les sommets rouges, et la permutation
correspond à une rotation autour d'un axe passant par les deux bords rouge-vert. Que le groupe de symétrie du cube est S4 signifie que toute permutation des couleurs peut être réalisé par une certaine symétrie du cube et vice versa.
Symétries et Plongements
polyèdres réguliers qui sont duales ont le même groupe de symétrie. La raison de cela découle de la construction à double polyèdre décrit ailleurs sur cette page; si nous prenons un polyèdre et construire le double à l'intérieur, puis tout mouvement symétrique du polyèdre entraînera la double inscrite pour occuper le même espace comme avant, et vice versa.
Nous pouvons utiliser une construction similaire pour relier les groupes de symétrie du tétraèdre et du cube. Comme indiqué ci-dessous, il est possible d'inscrire un tétraèdre dans un cube de telle sorte que les sommets du tétraèdre sont quatre des huit sommets du cube.
