Colonne de fonction de l'AMS
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introduction
La géométrie des transformations linéaires
Commençons par regarder certaines matrices simples, à savoir celles avec deux lignes et deux colonnes. Notre premier exemple est la matrice diagonale
L'effet de cette transformation est le suivant: le plan est étiré horizontalement par un facteur de 3, alors qu'il n'y a aucun changement vertical.
Ah ha. Nous voyons maintenant que cette nouvelle grille se transforme de la même manière que la grille d'origine a été transformé par la matrice diagonale: la grille est tendue par un facteur de 3 dans une direction.
où un scalaire est Ài. Géométriquement, cela signifie que les vecteurs vi sont simplement étirés et / ou réfléchi multiplié par M. En raison de cette propriété, nous appelons les vecteurs vieigenvectors de M; les sont appelés scalaires Ài valeurs propres. Un fait important, qui est facilement vérifiée, est que les vecteurs propres d'une matrice symétrique correspondant à des valeurs propres sont orthogonaux.
Si nous utilisons les vecteurs propres d'une matrice symétrique pour aligner la grille, la matrice étire et reflète la grille de la même manière qu'il fait les vecteurs propres.
La description géométrique que nous avons donné à cette transformation linéaire est simple: la grille est simplement étiré dans une direction. Pour les matrices plus générales, nous demanderons si nous pouvons trouver une grille orthogonale qui se transforme en une autre grille orthogonale. Prenons un dernier exemple en utilisant une matrice qui n'est pas symétrique:
Cette matrice produit l'effet géométrique connu comme un cisaillement.
Nous exprimerons ce fait en utilisant des vecteurs: avec un choix approprié de vecteurs unitaires orthogonaux v1 et v2. les vecteurs MV1 et MV2 sont orthogonales.
Nous utiliserons u1 et u2 pour désigner des vecteurs unitaires dans la direction de Mv1 et Mv2. Les longueurs des Mv1 et Mv2 --denoted par σ1 et a2 --describe la quantité que la grille est étiré dans les directions particulières. Ces chiffres sont appelés les valeurs singulières de M. (Dans ce cas, les valeurs singulières sont le rapport d'or et sa réciproque, mais ce n'est pas si important ici.)
Nous avons donc
Ceci veut dire cela
Cela est généralement exprimé par écrit
où U est une matrice dont les colonnes sont les vecteurs u1 et u2. σ est une matrice diagonale dont les entrées sont σ1 et σ2. et V est une matrice dont les colonnes sont v1 et v2. L'exposant T sur la matrice V désigne la matrice transposée de V.
Notez que les axes majeurs et mineurs sont définis par Mv1 et Mv2. Ces vecteurs sont donc les plus longs et les plus courts vecteurs parmi toutes les images de vecteurs sur le cercle unité.
En d'autres termes, la fonction | Mx | sur le cercle unité a un maximum à un minimum v1 et v2 à. Cela réduit le problème à un problème de calcul plutôt standard dans lequel nous voulons optimiser une fonction sur le cercle unité. Il se trouve que les points critiques de cette fonction se produisent aux vecteurs propres de la matrice M T M. Comme cette matrice est symétrique, les vecteurs propres correspondant à des valeurs propres seront orthogonaux. Cela donne à la famille de vecteurs vi.
Les valeurs singulières sont alors données par σi = | | MVI, et les vecteurs ui sont obtenus sous forme de vecteurs unitaires dans la direction de Mvi. Mais pourquoi sont les vecteurs orthogonaux ui?
Pour expliquer cela, nous partons du principe que σi et σj sont des valeurs singulières distinctes. Nous avons
Commençons par regarder l'expression MviMvj et en supposant, par souci de commodité, que les valeurs singulières ne sont pas nuls. D'une part, cette expression est nulle puisque les vecteurs vi. qui sont des vecteurs propres de la matrice symétrique M T M sont orthogonaux les uns aux autres:
D'autre part, nous avons
Par conséquent, ui et uj sont donc nous avons orthogonal trouvé un ensemble orthogonal de vecteurs vi qui se transforme en une autre ui ensemble orthogonal. Les valeurs singulières décrivent la quantité d'étirement dans les différentes directions.
Un autre exemple
Regardons maintenant la matrice singulière
L'effet géométrique de cette matrice est la suivante:
Cet exemple souligne brièvement les débuts d'un domaine connu comme l'analyse des composantes principales. un ensemble de techniques qui utilise des valeurs singulières pour détecter des dépendances et des redondances dans les données.
Les références:
Cet article décrit le concours du prix de Netflix, ainsi que quelques-uns des défis qui y sont associés.
Ceux qui ne peuvent accéder à JSTOR peut trouver au moins des documents mentionnés ci-dessus là. Pour ceux qui ont accès, MathSciNet de l'American Mathematical Society peut être utilisée pour obtenir des informations bibliographiques supplémentaires et commentaires de certains de ces matériaux. Certains des éléments ci-dessus peuvent être accessibles via le portail ACM. qui fournit également des services bibliographiques.
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