Comment trouver transformée de Fourier inverse - Mathématiques Stack échange
Deux définitions couramment utilisées de la transformée de Fourier $ x (t) $ sont $$ \ begin X (\ omega) - = \ int_ ^ x (t) e ^ \ mathrm dt, -x (t) = \ frac \ int_ ^ X (\ omega) e ^ \ mathrm d \ omega \\ \ chapeau (f) - = \ int_ ^ x (t) e ^ \ mathrm dt, -x (t) = \ int_ ^ X (f) e ^ \ mathrm df. \ End $$ Les deux fonctions sont associées en tant que chapeau $ \ (f) = X (2 \ pi f) et $ X $ (\ omega) = \ chapeau (f / 2 \ pi) $.
Je pense que votre question est essentiellement: si vous avez une table qui vous indique la transformée de Fourier inverse $ X (\ omega) = \ delta (\ omégas \ omega_0) $ est $ \ frace ^ $ dont il est facile de déduire que la transformée de Fourier inverse delta $ \ (\ omega-2) $ est $ \ frace ^ $, comment voulez-vous en déduire que la transformée de Fourier inverse $ \ hat (f-f_0) = \ delta (f-f_0 ) $ est $ e ^ $ en général, et en ce que la transformée de Fourier inverse de $ \ delta (f-2) est $ e ^ $? Comme williamdemeo vous a montré, et Willie Wong a souligné à vous, seulement le calcul de l'intégrale de Fourier $$ x (t) = \ int_ ^ \ chapeau (f) e ^ \ mathrm df = \ int_ ^ \ delta (f-2) e ^ \ mathrm df = e ^ = ^ e $$ est beaucoup plus facile que embêter avec des tables. Mais si vous êtes mort sur l'utilisation ensemble des tables uniquement, puis notez que si x $$ (t) = \ frac \ int_ ^ X (\ omega) e ^ \ mathrm d \ omega $$ est connu pour vous, car il ne Peu importe ce que nous appelons la variable d'intégration x $$ (t) = \ frac \ int_ ^ X (\ omega) e ^ \ mathrm d \ omega = \ frac \ int_ ^ X (f) e ^ \ mathrm df = \ frac \ int_ ^ X (f) e ^ \ mathrm df $$ Soit $ y (t) désignent $ l'intégrale la plus à droite. Ensuite, nous avons que $ y (t) $ est la transformée de Fourier inverse $ X (f) $ évaluée à t / 2 $ \ pi $, et il arrive à l'égalité de 2 $ \ pi x (t) $. Alors,
étant donné que $$ x (t) = \ frac \ int_ ^ X (\ omega) e ^ \ mathrm d \ $$ oméga est la transformée de Fourier inverse de X $ (\ omega) $, la transformée de Fourier inverse $ X ( f) $ est $$ \ int_ ^ X (f) e ^ \ mathrm df = 2 \ pi \ cdot x (2 \ pi t). $$
En particulier, étant donné que l'inverse de la transformée de Fourier inverse delta $ \ (\ omega-2) est $ \ frace ^ $, la transformée de Fourier inverse delta \ $ (f-2) $ est 2 $ \ pi \ frace ^ = e ^ $.