Fonctions inverses (Trig sans larmes Partie 9)

Qu'est-ce qu'un inverse?

L'inverse est l'équivalent mathématique d'une annulation. Par exemple, si vous avez un angle A = 40 °, vous pouvez trouver sin A 0,64 ≈. Mais il faut aller dans l'autre direction lorsque vous résolvez un triangle. Par exemple, vous pourriez obtenir le péché B = 0,82 et doivent trouver B. angle Vous ne demandez pas quel est le sinus de un certain angle, mais plutôt « Quel angle a une égale sinusoïdale à 0,82? »

Est-ce arcsin une fonction? Eh bien, regardez le graphique de y = 0,82 x contre y = sin. Là où ils se croisent est arcsin (0,82), et évidemment il y a beaucoup de réponses possibles. Ainsi, bien que le péché est une fonction, arcsin est pas. Votre calculatrice vous donnera une réponse d'environ 55 °, mais c'est juste l'un des nombreux infiniment. Tu sais d'après l'équation 22 que sin (180 ° - x) = x sin. et depuis 180 ° - 55 ° = 125 °, 125 ° sin = péché 55. Mais toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques. répéter tous les 360 ° pour toujours, infiniment nombreux angles (ou chiffres) ont un sinus de 0,82:

arcsin (0,82) ≈ (55 + 360k) ° et (125 + 360k) °, où k est un entier quelconque.

arcsin (0,82) ≈ (0,96 + 2πk) et (2,18 + 2πk), où k est un entier quelconque.

principales valeurs

Donc arcsin (0,82) est tous les numéros (ou des angles) dont le sinus est 0,82. Mais si nous voulons une fonction sinus inverse. nous devons avoir une seule réponse. Cette réponse unique est appelée la valeur principale, et est écrit Arcsin (0,82):

Arcsin (0,82) ≈ 55 °, ou 55π / 180 = 0,96 en radians.

Arcsin (x), avec la lettre majuscule, est la principale valeur de arcsin (x). Minuscules arcsin (x) est l'ensemble des nombres possibles ou des angles dont le sinus est x. La même convention s'applique aux cinq autres fonctions. (Voir notation. Ci-dessous, d'autres façons d'écrire la relation inverse et la fonction inverse.)

Maintenant, tout ce dont nous avons besoin est une règle pour choisir les principales valeurs de toutes les fonctions trigonométriques inverses. Nous voulons un intervalle continu, sans lacunes, et nous voulons que l'intervalle d'inclure la plage de 0 ° à 90 ° (0 à n / 2). Il se avère que les six fonctions ne peuvent pas tous avoir la même gamme.

Pour Arcsin. la seule possibilité qui répond à ces exigences est que Arcsin x doit retourner un nombre dans l'intervalle [-π / 2, + π / 2], qui est le même que [-90 °, + 90 °].

La tangente inverse, Arctan. est presque le même. Mais comme il n'y a pas de valeur pour tan (± 90 °) ou tan (± π / 2), la gamme de arctan est l'intervalle ouvert (-π / 2, + π / 2) ou (-90 °, + 90 °) .

Qu'en est-Arccos. Le cosinus est positif dans les deux Quadrant I et IV Quadrant, de sorte que le arccosine d'un nombre négatif doit se situer dans le quadrant II ou III Quadrant. Thomas (Calcul et géométrie analytique, 4e édition) résout ce d'une manière nette. Rappelez-vous de l'équation 2 que

Il fait une belle symétrie écrire

Arccos x = π / 2 - x Arcsin

Et voilà comment Thomas définit la fonction cosinus inverse. Etant donné que la plage de Arcsin est l'intervalle fermé [-π / 2, + π / 2], la plage de Arccos est π / 2 moins que, [0, π] ou [0 °, 180 °].

Une fois que la plage de arctan est définie, il n'y a vraiment qu'une seule façon raisonnable de définir arccot:

Lit x = tan (π / 2 - x) ⇒ arccot x = π / 2 - Arctg x

ce qui donne l'intervalle ouvert unique (0, π) ou (0 °, 180 °) en tant que plage.

Thomas définit les fonctions Arcsec et arccsc en utilisant les relations réciproques de l'équation 5:

Cela signifie que Arcsec et arccsc ont les mêmes gammes que Arccos et Arcsin, respectivement.

Voici les domaines (entrées) et les plages (sorties) des six fonctions trigonométriques inverses:

Rappelez-vous que les relations inverses arcsin etc. sont de valeurs multiples, sans s'y limiter les plages ci-dessus des fonctions. Si vous voyez la capitale A au nom de la fonction, vous savez que vous parlez de la fonction; sinon vous devez dépendre du contexte.

Dans ce livre, le plurivalente relation inverse est ArcSinus avec minuscules a, et la fonction inverse est Arcsin capital A. C'est un choix commun aux États-Unis, mais ce n'est pas le seul choix.

Quelques livres, y compris Thomas, utilisez sin -1 pour la fonction. C'est en fait un choix logique, car -1 est le moyen standard pour désigner une fonction inverse. Mais le problème est qu'il vous donne envie de penser à sin -1 (x) comme 1 / sin (x), même si elles ne sont pas tout la même chose.
De nombreux calculateurs utilisent sin -1 pour le nom de la fonction, bien que certains utilisent arcsin minuscules.
Excel, et de nombreux langages de programmation, utilisez asin pour la fonction.
En dehors de la arcsin minuscule américaine signifie souvent la valeur principale, et si vous voulez la relation de valeurs multiples, vous devez utiliser une périphrase.

Parce qu'il ya tant de conventions, les auteurs expliquent généralement que la notation qu'ils utilisent, alors faites attention à cela.

Fonctions de Arcfunctions

Parfois, vous devez évaluer des expressions comme

Cela semble effrayant, mais en réalité il est un morceau de gâteau. Vous pouvez simplifier toute fonction trigonométrique de toute fonction trigonométrique inverse en deux étapes, en utilisant cette méthode:

Pensez à l'intérieur arcfunction comme un angle. Dessiner un triangle rectangle et l'étiquette sous cet angle et les deux parties concernées.

Exemple 1: cos (x) Arctan

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Donnons un nom à ce « angle dont ». Appelez-A:

à partir de laquelle vous savez que

Maintenant, tout ce que vous avez à faire est de trouver cos A. et c'est facile si vous dessinez une petite image.

L'étape suivante consiste à trouver le troisième côté. Vous connaissez les deux jambes, de sorte que vous utilisez le théorème de Pythagore pour trouver l'hypoténuse, √ 1 + x ². (Pour certains problèmes, vous saurez une jambe et l'hypoténuse, et vous allez utiliser le théorème de trouver l'autre jambe.)

Une fois que vous avez toutes les longueurs de trois côtés, vous pouvez écrire la valeur de toute fonction de A. Dans ce cas, vous avez besoin cos A. qui est adjacent côté plus hypoténuse:

Mais cos A = cos (x arctan). Donc

cos (Arctg x) = 1 / √ (1 + x ²)

et il y a votre réponse.

Exemple 2: cos (x) Arcsin

Lisez ce que « le cosinus de l'angle A dont le sinus est x ». Dessinez votre triangle, et l'angle de l'étiquette A. (S'il vous plaît prendre une minute et faire le dessin.) Vous savez que l'équation 1

Ensuite, pour résoudre le troisième côté, qui est √ (1-x ²), et l'écrire. Maintenant, vous devez cos A. qui est du côté adjacent au-dessus de l'hypoténuse, qui est √ (1-x ²) / 1. Répondre:

cos (Arcsin x) = √ (1-x ²)

Là, vous allez: rapide et sans douleur.

Exemple 3: cos (Arctg 1 / x)

Maintenant, vous pouvez écrire cos A. qui est adjacent au-dessus de l'hypoténuse:

Mais cet exemple a un problème qui ne se produit pas dans les exemples précédents.

On suppose que x est négatif, disons -√3. Puis arctan (-1 / √3) = -π / 6, et cos (-π / 6) + = (√3) / 2. Mais la réponse ci-dessus, x / √ (1 + x ²), les rendements -√3 / √ (1 + 3) = - (√3) / 2, qui a le mauvais signe.

Qu'est ce qui ne s'est pas bien passé? Le problème est que les rendements des valeurs dans arctan (-π / 2, + π / 2), qui est Quadrants IV et I. Mais le cosinus est toujours positif sur cet intervalle. Par conséquent, cos (x arctan) donne toujours un résultat positif. Rappelez-vous aussi de l'équation 22 que le cos (-A) = cos A. Pour ce faire, utilisez le signe de valeur absolue, et la vraie réponse finale est

Pourquoi ne pas tous les exemples ont ce problème? Les exemples précédents impliqués que la place d'une variable, qui est naturellement non négatif. Seulement ici, où nous avons une puissance étrange, est-il important. Oui, cela s'applique à la première puissance, même si l'exposant 1 n'est pas écrit.

Arcfunctions de fonctions

On peut dire à la fois qu'il n'y aura pas de pur équivalent algébrique à un arcfunction d'une fonction trigonométrique. Cela signifie qu'il n'y aura pas de belle procédure propre car il y avait des fonctions de arcfunctions

Pourquoi? Les six fonctions trigonométriques sont périodiques, et par conséquent, toute fonction de l'un d'eux doit aussi être périodique. Mais pas de fonctions algébriques sont périodiques, sauf ceux triviales comme f (x) = 2, et donc pas de fonction d'une fonction trigonométrique peut être représenté par des opérations purement algébriques. Comme nous le verrons, certains peuvent être représentés si l'on ajoute des fonctions non-algébriques comme mod et le plancher.

Exemple 4: Arccos (sin u)

Ceci est l'angle dont le cosinus est sin u. Pour arriver à une forme plus simple, fixer x égal à l'expression souhaitée et résoudre l'équation en prenant cosinus de part et d'autre:

Cela pourrait être résolu si l'on pouvait transformer en quelque sorte à pécher (quelque chose) = sin u ou cos x = cos (autre chose). En fait, on peut utiliser l'équation 2 pour le faire. Il nous dit que

et la combinaison de ce qui précède, nous avons

Maintenant, si x est dans le quadrant I, qui est l'intervalle [0, π / 2], alors u dans le quadrant I aussi, et nous pouvons écrire

Arccos (sin u) = π / 2-u de u dans le quadrant I

Mais cette solution ne fonctionne pas pour tous les quarts de cercle. Par exemple, essayer un certain nombre de Quadrant II:

Arccos (sin (5π / 6)) = arccos (½) = π / 6

π / 2 - 5π / 6 = -π / 3

De toute évidence, n / 2-u est pas une solution générale pour Arccos (sin u). Essayez Arccos graphiquement (sin x) et π / 2-x et vous verrez le problème: on est en dents de scie et l'autre est une ligne droite.

La répétition chaque 2π est plus difficile à réfléchir, mais gère:

où « étage » désigne le plus grand entier inférieur ou égal à. Salissante, hein? (Notez aussi que « plancher » n'est pas une fonction algébrique.)

Il pourrait être un peu plus court avec mod (ce qui est pas algébrique):

Arccos (sin u) = | π - mod (u + π / 2, 2π) |

où mod (a. b) est le reste non négatif quand un est divisé par b.

Exemple 5: Arcsec (cos u)

Celui-ci, l'angle dont la sécante est cos u. a une solution très bizarre. Essayez la méthode de solution de l'exemple 4 et vous obtenez

Mais sec x = 1 / cos x. et donc

Maintenant, pensez à cette équation. Les valeurs du cosinus sont entre -1 et +1. Donc, la seule façon cosinus peut être l'inverse d'une autre est de savoir s'ils sont tous deux égaux à 1 ou deux égaux à -1; aucune autre solution existe.

Premier cas: Si cos u = 1, u est un multiple de π, ou autrement dit un multiple de 2π. Mais Arcsec 1 = 0, et par conséquent

Arcsec (cos u) = 0 lorsque u = 2kπ

Deuxième cas: Si cos u = -1, alors u est un multiple impair de π. Mais Arcsec (-1) = π, et par conséquent

Arcsec (cos u) = π quand u = (2k + 1) π

Si u est pas un multiple de π, cos u sera inférieur à 1 et supérieur à -1. La fonction Arcsec est pas définie pour ces valeurs, et par conséquent

Arcsec (cos u) n'existe pas lorsque u est pas un multiple de π

Le graphique de la Arcsec (cos u) est assez curieux: points uniques aux extrémités d'une dent de scie infinie. (-3π, π), (-2π, 0), (-π, π), (0, 0), (π, π), (2π, 0), (3π, π).

Exemple 6: arctan (sin u)

En procédant de la manière habituelle, nous avons

Approche la plus probable est celle de l'exemple 4. essayer de transformer ce qui précède en tan (x) = tan (quelque chose) ou péché (autre chose) = sin u.

En cas de l'identité trigonométrique ou une combinaison qui peut être utilisé pour le faire, il est inconnu pour moi. Je soupçonne fortement que arctan (sin u) ne peut pas être converti en une expression algébrique, même avec l'utilisation du mod ou sur le sol, mais je ne peux pas le prouver.

problèmes pratiques

Pour tirer le meilleur parti de ces problèmes, les travailler sans regarder d'abord les solutions. Reportez-vous au texte du chapitre si vous avez besoin de vous rafraîchir la mémoire.

Recommandation. Travailler sur un papier - il est plus difficile de vous tromper de savoir si vous comprenez vraiment complètement un problème.

Vous y trouverez des solutions complètes pour tous les problèmes. Ne vous contentez pas de vérifier vos réponses, mais vérifiez votre méthode aussi.

1 Les valeurs de sortie possibles de Arcsin x comprennent ± de / 2, mais les valeurs de sortie possibles de arctan x ne le font pas. Pourquoi peut arctan x jamais égal -π / 2 ou π / 2?

2 Trouver sec (Arcsin x). Rappelez-vous de faire un croquis pour vous aider. Choisissez une valeur, comme x = -0,7, en cas de test pour vérifier votre réponse.

3 Trouver sin (Arccos 1 / x). Rappelez-vous de faire un croquis pour vous aider. Choisissez une valeur, comme x = 1.3, en cas de test pour vérifier votre réponse.

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