Introduction à la théorie des nombres
Guide et fonctionnalités
- Événements
Article par Vicky Neale
Dans cet article, nous examinons des résultats élémentaires dans la théorie des nombres, en partie parce qu'ils sont intéressants en eux-mêmes, en partie parce qu'ils sont utiles dans d'autres contextes (par exemple des problèmes Olympiad), et en partie parce qu'ils vous donneront un aperçu de ce nombre La théorie est au sujet.
Vous aurez besoin d'un peu de connaissance à l'avance, mais pas beaucoup: vous devez être familier avec la notation de congruence, et vous devez savoir que si $ a $ et n $ sont coprime (ont le facteur le plus commun $ 1 $) puis $ a $ a un mod n $ inverse multiplicatif $ (autrement dit, il existe un entier $ b $ tel que $ a \ times b \ equiv 1 \ text< mod > n $). Vous pouvez trouver une explication de tout cela dans l'article intitulé modulaire Arithmétique. Vous trouverez peut-être aussi utile de savoir qu'un entier est un nombre entier ($ \ ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ ldots $ sont tous les entiers), et par numéro naturel. Je veux dire un nombre entier positif ($ 1, 2, 3, \ ldots $). Parfois, les gens comprennent $ 0 $ comme numéro naturel, mais je ne vais pas dans cet article.
Nous disons que $ x $ divise $ y $, écrite $ x | y $, s'il y a un entier $ c $ tel que $ y = c x $. Ainsi, par exemple, $ 3 | 6 $ (6 $ comme = 2 \ times 3 $), mais 3 $ \ nmid7 $. Nous avons besoin d'un peu de propriété nombres premiers pour nous aider plus tard. La propriété est que si $ p $ est un p premier et $ | a b $, puis $ p | a $ ou $ p | b $. Est-ce évident? Eh bien, non, pas vraiment, parce que ce n'est pas vrai à moins que $ p $ est premier. Par exemple, 4 $ 6 divise \ fois 10 $ = 60 $, mais 4 $ ne divise pas 6 $ et 4 $ ne divise pas 10 $. Prouvons-le (pour les nombres premiers, bien sûr!). Nous savons que $ p | a $ b. Si $ p | a $ ou $ p | b $, alors évidemment le résultat est vrai, alors supposons qu'il ne fonctionne pas. Maintenant, nous allons utiliser le théorème de Bezout, qui dit que $ m $ et n $ sont si et seulement premiers entre eux s'il existe des entiers $ h $ et k $ $ tel que $ h m + k n = 1 $. Depuis $ p \ nmid a $, $ a $ et $ p $ sont premiers entre eux (rappelez-vous, $ p $ est premier). Donc, il existe des entiers $ h $ et $ k $ tels que $ par h + p k = 1 $. De même, il y a des nombres entiers $ H $ et $ k $ tel que $ b H + P k = $ 1. Nous allons multiplier ces équations ensemble. Ensuite, 1 $ = (a h + pk) (b H + p K) = abh H + PKB H + p K a h + p ^ 2 k K = (ab) (h H) + p (kb H + K un h + pk K) $. Mais $ p | a b $ et $ p certainement | p $, donc $ p $ divise la droite, alors p $ | 1 $. Mais cela est absurde. Donc $ p | une p $ ou $ | b $.
Nous pouvons utiliser ce résultat et l'induction de prouver le théorème suivant très important:
?Le théorème fondamental de l'arithmétique:
Tous les n nombre naturel $> 1 $ peuvent être exprimés de manière essentiellement unique en tant que produit de nombres premiers.
Par « essentiellement unique », je veux dire « compter différents ordonnancements des nombres premiers comme le même »: 12 $ = 2 ^ 2 \ times3 = 3 \ Times2 ^ 2 $, mais je compte ces produits comme essentiellement les mêmes. Vous devez également noter le fait très important que 1 $ est pas un nombre premier - sinon ce théorème serait évidemment faux! Je ne vais pas prouver ce résultat, mais que vous aimeriez avoir un vous aller, ou vous pouvez chercher dans un livre d'introduction sur la théorie des nombres.
Le premier théorème que nous allons prouver est appelé le petit théorème de Fermat. parfois, confusément, connu sous le nom FLT (source de confusion car FLT est également utilisé pour désigner le dernier théorème de Fermat, ce qui est tout autre chose!). Voici ce que le théorème dit:
Théorème: Soit $ p $ un nombre premier et $ a $ un nombre naturel non divisible par $ p $. Alors \ begin un ^ \ equiv 1 \ text< mod > p. \ End Ceci est en substance la même que la déclaration suivante:Soit $ p $ un nombre premier et $ $ un nombre naturel. Alors \ begin un ^ p \ equiv un texte \< mod > p. \ End Pourquoi est-ce vraiment la même chose? Si un $ \ equiv 0 \ texte< mod > p $, alors il est assez évident que $ a ^ p \ equiv un texte \< mod > p $. Si $ a \ t \ equiv 0 \ text< mod > p $, alors il a l'inverse, nous pouvons multiplier les deux côtés (2) par l'inverse et revenir (1). De plus, je l'espère, il est clair que l'on peut multiplier les deux côtés (1) par un $ $ pour (2).
Prouvons le théorème (nous allons prouver (1)). Considérons l'ensemble $ \ $. Celui-ci contient tous les éléments distincts non nuls mod $ p $ (qui est, ils sont tous différents, et aucun d'entre eux est égal à zéro p $ mod $). Comme ils sont tous non nul, si nous les multiplions tous ensemble, nous allons obtenir quelque chose de non-zéro $ p $ mod (en utilisant à plusieurs reprises le résultat de plus tôt que si $ p | ab $, alors $ p | une p $ ou $ | b $). Considérons maintenant l'ensemble $ \ $, où nous réduisons chaque élément mod $ p $ (il est compris entre 0 et p-1 $). Maintenant, aucun de ces chiffres est 0 mod $ p $, et ils sont tous distincts (vérifier, si vous ne me croyez pas!). Il est donc l'ensemble de tous les éléments non nuls mod $ p $. Donc, certainement multiplier tous les numéros dans le deuxième set donne la même réponse que la multiplication de tous les numéros dans le premier set (mod $ p $). Dans symboles, $ 1 \ fois 2 \ times \ ldots \ Temps (p-1) \ equiv a \ fois (2a) \ times \ ldots \ times (p-1) a \ equiv a ^ \ times 1 \ times 2 \ ldots \ times (p-1) \ texte< mod > p $. Depuis le 1 \ 2 fois \ fois $ \ ldots \ fois (p-1) \ not \ equiv 0 \ text< mod > p $, nous pouvons diviser par elle, en laissant un $ ^ \ equiv 1 \ text< mod > p $.Le théorème suivant est une généralisation du théorème peu, mais d'abord nous devons définir une nouvelle fonction de Fermat.
La fonction phi Euler. également connu sous le nom de la fonction Euler indicatrice. est défini comme étant la fonction $ \ varphi: \ mathbf \ rightarrow \ mathbf $ (qui est, à valeurs dans les nombres naturels et donnant des valeurs dans les nombres naturels) où $ \ varphi (n) $ est le nombre de nombres naturels inférieurs à ou égal à n $ $ qui sont à n $ premiers entre eux $. Alors $ \ varphi (p) = p-1 $ pour tous les nombres premiers $ p $ (parce que tout à moins de $ p $ est de $ p coprime $), par exemple. Un autre exemple: $ \ varphi (15) = 8 $, depuis $ 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13 $ et 14 $ sont exactement les nombres naturels inférieurs à 15 et coprime $ $.
Cette fonction a une propriété particulière. Si $ m $ et n $ sont coprime. puis $ \ varphi (m n) = \ varphi (m) \ varphi (n) $. Je vais laisser la preuve de cela pour vous comme un exercice, car avec quelques conseils, il est pas trop difficile. Nous avons déjà travaillé sur ce que $ \ varphi (p) $ est si $ p $ est premier. Maintenant travailler $ \ varphi (p ^ 2) $ puis travailler $ \ varphi (p ^ k) $ k $ est un nombre naturel. Maintenant, travailler sur $ \ varphi (pq) $, où $ p $ et $ q $ sont différents nombres premiers, et travailler jusqu'à $ \ varphi (p ^ mq ^ n) $, encore une fois où $ p $ et $ q $ sont distincts nombres premiers. Repéré le modèle? Maintenant, utilisez le théorème fondamental de l'arithmétique (voir ci-dessus) pour prouver que $ \ varphi (m n) = \ varphi (m) \ varphi (n) $ pour coprime $ m $, $ n $.
Maintenant, regardons une généralisation du petit théorème de Fermat, parfois appelé le théorème de Fermat-Euler.
Théorème: Soit n $> 1 $ soit un nombre naturel et $ $ un coprime entier à $ n $. Alors $ a ^ \ equiv 1 \ text< mod > n $.
Pourquoi est-ce une généralisation du petit théorème de Fermat? Eh bien, pensez quand n $ est premier. Alors $ \ varphi (n) = n-1 $, et nous reviendrons exactement la déclaration du petit théorème de Fermat.
Je vais laisser la preuve comme un exercice, car il est très similaire à la preuve du petit théorème de Fermat.
Nous arrivons maintenant au dernier théorème dans cet article, appelé théorème de Wilson.
Théorème: Soit $ p $ un nombre premier. Alors $ (p-1)! \ Equiv -1 \ text< mod > p $ (où. désigne factoriel).
A première vue, il peut sembler tout à fait clair comment on pourrait s'y prendre pour prouver, mais il y a une belle et simple preuve que je vais décrire maintenant. Rappelez-vous que chacun des numéros 1 $, 2, 3, \ ldots, p-1 $ a un texte inverse \< mod > $ P $? Donc, on peut apparier des chiffres, de sorte qu'un numéro dans la paire est l'inverse de l'autre numéro de la paire. Mais un certain nombre pourrait être l'inverse de lui-même. Quand cela se produit? Si vous y pensez, vous verrez que $ x $ est son propre inverse que si $ x ^ 2 \ equiv 1 \ text< mod > p $. Autrement dit, $ x $ est son propre inverse que si $ (x-1) (x + 1) \ equiv 0 \ text< mod > p $, et depuis $ p $ est premier, nous voyons que nous devons avoir $ x-1 \ equiv 0 \ text< mod > p $ ou $ x + 1 \ equiv 0 \ text< mod > p $, de sorte que les seuls chiffres entre 1 $ et p-1 $ $ qui sont leurs propres $ 1 sont inverses $ et p-$ 1 $. Maintenant, nous pensons revenir à $ (p-1)! $. Chaque paire $ (a, a ^) $ verse 1 $ $ à ce produit, de sorte que les seules choses qu'il nous reste à vous soucier sont 1 $ et p-$ 1 $. Donc $ (p-1)! \ Equiv 1 \ times (p-1) \ equiv -1 \ text< mod > p $, comme nous le voulions.
J'espère que cela vous a donné une idée de ce la théorie des nombres est sur le point; il existe de nombreux livres disponibles qui continuent à développer la théorie, et un grand nombre de problèmes Olympiad que vous aimeriez aborder avec vos nouvelles connaissances!
Le projet vise NRICH à enrichir les expériences mathématiques de tous les apprenants. Pour soutenir cet objectif, les membres de l'équipe travaillent NRICH dans un large éventail de capacités, y compris le perfectionnement professionnel pour les enseignants qui souhaitent intégrer des tâches mathématiques riches en pratique quotidienne en classe. Plus d'informations sur un grand nombre de nos autres activités sont disponibles ici.
Articles Liés