Théorie des nombres élémentaires et méthodes de preuve
Théorie des nombres élémentaires et méthodes de preuve
Nous commençons par une théorie des nombres de base. L'ensemble des nombres entiers est fermé sous l'addition, la soustraction et la multiplication. Par conséquent, des sommes, des différences et des produits d'entiers sont des nombres entiers. Est-ce que cette propriété tient pour la division? Les entiers sont dans l'une des deux formes, est un nombre entier pair ou impair il est.
Définition: Un entier n est même si, et seulement si, n = 2k pour un certain entier k. Un entier n est impair si et seulement si n = 2k + 1 pour un certain entier k. Symbolique, si n est un entier,
Ce sont des relations d'équivalence, il en résulte que les deux conditionnel (p seulement si q) et son inverse (p si q) sont vraies.
Certaines pratiques avec notre définition:
- Est-0 même?
- Est--515 étrange?
- Si a et b sont des nombres entiers, est 6a 2 b 3 même? Pourquoi?
- Si a et b sont des nombres entiers, est 10a 2 + 3 + 1 6b même? Pourquoi?
Existence de preuves Constructive, Ex. 3.1.3top
Prouver les éléments suivants:
- $ Un n entier pair qui peut être écrit de deux façons comme une somme de deux nombres premiers.
Solution: Soit n = 14. Alors 14 = 11 + 3 = 7 + 7 et 3, 7 et 11 sont tous les nombres premiers. - $ Un entier k tel que 14R + 6s = 2k. où r et s sont des nombres entiers.
Solution: Soit k = 7R + 3. Alors k est un nombre entier car il est la somme des produits d'entiers; et par substitution, 2k = 2 (7r + 3s).
Nonconstructive Preuve de l'existence
Soit (a) l'existence d'une valeur de x qui rend Q (x) true est garantie par un axiome ou un théorème démontré précédemment ou (b) l'hypothèse qu'il n'y a pas de x conduit à une contradiction.
Déclarations universelles Proving
Procédé de généralisation de l'générique au Particulartop
- Lancer la preuve en supposant que X est un élément choisi arbitrairement en particulier, mais de D pour lesquels l'hypothèse P (x) est vrai.
- Montrent que la conclusion de Q (x) est vrai en utilisant les définitions, les résultats précédemment établies, et les règles d'inférence logique.
Théorème 3.1.1 Si la somme de tous les deux entiers est pair, alors il en est leur différence.
Preuve:
Supposem et n sont des nombres entiers [en particulier, mais arbitrairement choisis] de telle sorte que m + n est pair. [Nous devons montrer que m - n est pair.] Par définition même, m + n = 2k pour un k entier. N des deux soustrayant côtés donne m = 2k - n. Alors
o Ecrire le théorème à démontrer.
o Faites votre preuve autonome.
o Rédiger des preuves dans des phrases complètes en anglais.
Ceci est vrai parce que, si m = 14 et n = 6, alors m + n = 20, ce qui est encore,
et m - n = 8, qui est aussi égale.
- En utilisant la même lettre pour signifier deux choses différentes.
Supposons que m et n sont des nombres impairs. Par définition bizarre, m = 2k + 1
et n = 2k + 1 pour un certain entier k.
- Sauter à une conclusion (pétition de).
On suppose que m et n sont des entiers et m + n est pair. Ensuite, par définition même,
m + n = 2k pour un certain entier k. Alors m = 2k - n, et donc m - n est pair.
On suppose que p est un nombre premier. Si p est premier [mauvaise utilisation de « si », le
primeness de p n'est pas de doute que nous avons supposé qu'il]. alors p
ne peut pas être écrit comme un produit de deux nombres entiers positifs plus petits.
1. Les noms des variables et indiquer les types d'objets qu'ils sont.
2. Supposition de l'hypothèse de l'if-then.
3. Que faut-il indiqué.
Compte tenu de la déclaration
Exemple: Ecrire le début d'une preuve de la déclaration « » G. Si G est un graphe complet, biparti alors G est connecté. »
Point de départ: Supposons que G est un système complet, graphe biparti particulier mais choisi arbitrairement.
Pour afficher: G est connecté.
Notre solution finale pour le début d'une preuve est alors:
Preuve: Supposons que G est un graphe complet, biparti particulier mais choisi arbitrairement. [Nous devons montrer que G est connecté.]
Preuve par Contradiction haut
Cette technique est basée sur l'hypothèse de l'existence d'éléments dans le domaine qui satisfont l'hypothèse et non la conclusion, ce qui conduit logiquement à une contradiction. Parfois, la négation d'une déclaration est plus facile de réfuter (conduit à une contradiction) que la déclaration d'origine est de prouver.
Exemple: Prouver qu'il n'y a pas de nombre rationnel j / k dont le carré est 2. En d'autres termes, montrent que la racine carrée de 2 est irrationnel. (Cette déclaration est un bon candidat pour une preuve par contradiction puisque nous ne pouvions pas vérifier tous les nombres rationnels possibles pour démontrer que nul n'a une racine carrée de 2)
Preuve: Supposons que (j / k) = 2 2 pour certains entiers j et k. qui ne présentent aucun facteur commun.
Maintenant, si le choix initial de j / k n'est pas en termes les plus bas, on peut factoriser des facteurs communs et le remplacer par son équivalent sous forme le plus bas terme.