La transformée inverse de Laplace
Nous aurions pu utiliser ces relations pour déterminer A1. A2. et A3. Mais A1 et A3 ont été faciles à trouver en utilisant la méthode « dissimulation ». La relation haut nous dit que A2 = -0,25, donc
(Où, là encore, il est implicite que f (t) = 0 quand t<0).
De nombreux textes utilisent une méthode fondée sur la différenciation de la fraction quand il y a des racines répétées. La technique implique la différenciation des rapports de polynômes qui est sujette à des erreurs. Les détails sont ici si vous êtes intéressé.
Un autre cas qui revient souvent est celle des racines complexes conjuguées. Considérons la fraction:
Le deuxième terme du dénominateur ne peut pas être pris en compte en termes réels. Cela nous laisse deux possibilités - soit accepter les racines complexes, ou de trouver un moyen d'inclure le second terme de l'ordre.
Exemple: Complexe Roots conjugués (méthode 1)
En utilisant les racines complexes (premier ordre)
Simplifier la fonction F (s) afin qu'il puisse être recherché dans la transformation de Laplace table.
Notez que A2 et A3 doit être conjugués complexes les uns des autres, car ils sont équivalents, sauf pour le signe de la partie imaginaire. Effectuer les calculs nécessaires:
La transformée de Laplace inverse est donnée ci-dessous (méthode 1).
Exemple: Complexe Roots conjugués (méthode 2)
Méthode 2 - Utilisation du second polynôme d'ordre
Simplifier la fonction F (s) afin qu'il puisse être recherché dans la transformation de Laplace table.
Solution :
Une autre façon d'augmenter la fraction sans avoir recours à des nombres complexes est d'effectuer l'expansion comme suit.
Notez que le numérateur du second terme est plus une constante, mais est plutôt un polynôme de premier ordre. De là-haut (ou en utilisant la méthode de dissimulation), nous savons que A = -0,2. Nous pouvons trouver les quantités B et C de multiplication croisée.
Si nous assimilons les mêmes pouvoirs de « s » nous obtenons
ordre de
coefficient
Puisque nous savons déjà que A = -0,2, la première expression (0 = A + B) nous dit que B = 0,2, et la dernière expression (3 = 5 + 5 ° C) nous dit que C = 0,8. Nous pouvons utiliser l'expression moyenne (1 = 4A + 5B + C) pour vérifier nos calculs. Enfin, nous obtenons
La transformée de Laplace inverse est donnée ci-dessous (méthode 2).
Les deux exemples précédents ont mis en évidence deux techniques pour réaliser une expansion de la fraction partielle d'un terme avec des racines complexes. La première technique est une simple extension de la règle pour traiter les racines réelles distinctes. Il est conceptuellement simple, mais peut être difficile lorsque l'on travaille à la main en raison de la nécessité d'utiliser des nombres complexes; il est facilement fait par ordinateur. La deuxième technique est facile à faire à la main, mais sur le plan conceptuel un peu plus difficile. Il est facile de montrer que les deux représentations résultant de fractions partielles sont équivalentes les unes aux autres. Examinons d'abord le résultat de la méthode 1 (en utilisant deux techniques).
Nous commençons par Méthode 1 sans notamment celles effectuées.
Méthode 1 - Technique de force brute
Nous répétons ce calcul, mais dans le processus, nous développons une technique générale (qui se révèle être utile lors de l'utilisation Matlab pour aider à l'expansion de fraction partielle. Nous savons que F (s) peut être représenté comme une expansion de fraction partielle comme indiqué ci-dessous :
Nous savons que A2 et A3 sont conjugués complexes de l'autre:
Nous pouvons maintenant trouver la transformation inverse des termes complexes conjugués en les traitant comme de simples termes du premier ordre (avec des racines complexes).
En utilisant la méthode de dissimulation (ou, plus probablement, un programme informatique), nous obtenons
Il est facile de montrer que le résultat final est équivalent à celui trouvé précédemment, à savoir,
Bien que cette méthode est un peu difficile à faire à la main, il est très pratique de le faire par ordinateur. Telle est l'approche utilisée sur la page qui montre les techniques Matlab.
Enfin, nous présentons la méthode 2, une technique qui est plus facile de travailler avec la résolution de problèmes pour la main (pour les devoirs ou examens) mais il est moins utile lorsque Matlab.
Ainsi, il a été démontré que les deux méthodes donnent le même résultat. Utilisez la méthode 1 avec MATLAB et utiliser la méthode 2 pour résoudre des problèmes avec un crayon et du papier.
Exemple - Combinaison de plusieurs méthodes d'extension
Trouvez la transformée de Laplace inverse
Solution :
La fraction a montré un second terme d'ordre dans le dénominateur qui ne peut être réduit au premier ordre termes réels. Tel que discuté dans la page décrivant l'expansion de fraction partielle. nous allons utiliser deux techniques. La première technique consiste à élargir la fraction tout en conservant le second terme d'ordre avec des racines complexes dans le dénominateur. La deuxième technique consiste à « Fin de la place. »
Puisque nous avons une racine répétée, laissez-croix se multiplient pour obtenir de
Puis assimilant les mêmes pouvoirs de s
Nous utiliserons la notation dérivée ci-dessus (Méthode 1 - une technique plus générale). La racine du dénominateur du terme A3 dans le développement en fraction partielle est à s = -1 + 2j (à savoir le dénominateur tend vers 0 lorsque s = -1 + 2j), l'amplitude de A3 est √2, et l'angle de A3 est de 225 °. Ainsi, M = 2√2, φ = 225 °, ω = 2, et σ = -1. La résolution de f (t) nous obtenons
Cette expression est équivalente à celle obtenue dans l'exemple précédent.
Lorsque la fonction domaine de Laplace n'est pas strictement propre (à savoir l'ordre du numérateur est différent de celui du dénominateur), nous ne pouvons pas appliquer immediatley les techniques décrites ci-dessus.
Exemple: Ordre du Numérateur Equals Ordre du Dénominateur
Trouvez la transformée de Laplace inverse de la fonction F (s).
Solution :
Pour la fraction ci-dessous, l'ordre du polynôme numérateur est pas inférieur à celui du polynôme dénominateur, donc nous réalisons d'abord la longue division
Maintenant, nous pouvons exprimer la fraction comme une constante plus un rapport approprié de polynômes.
En utilisant la méthode de couverture jusqu'à obtenir A1 et A2 nous obtenons
Le dernier cas, nous allons considérer est celle de exponentielles dans le numérateur de la fonction.
Exemple: exponentielles dans le numérateur
Trouvez la transformée de Laplace inverse de la fonction F (s).
Solution :
Les termes exponentiels indiquent un retard de temps (voir la propriété de délai). La première chose que nous devons faire est de recueillir des termes qui ont le même délai.
Nous effectuons maintenant une fraction partielle de l'expansion pour chaque période de temporisation (dans ce cas, nous ne devons effectuer l'expansion pour la durée avec le délai de 1,5 seconde), mais en général vous devez faire une expansion complète pour chaque terme.
Maintenant, nous pouvons faire l'inverse transformée de Laplace de chaque terme (avec les retards de temps appropriés)