Les fractions partielles
Je vais commencer par faire un exemple pour vous donner une idée de la procédure. Alors, je vais revenir en arrière et expliquer les étapes du procédé. La procédure est un peu longue et nécessite une quantité importante de l'algèbre. Par conséquent, avant d'utiliser des fractions partielles, vous devez être sûr qu'il n'y a pas un moyen plus facile de faire l'intégrale.
Tout d'abord, je tiens à mentionner une formule qui revient souvent dans ces problèmes:
Maintenant, je vais décrire les étapes du procédé. Une partie de ceci semble un peu abstrait jusqu'à ce que quelques exemples.
Considérons une intégrale de la forme
Étape 1. Si le degré de la partie supérieure est supérieur ou égal au degré du fond, diviser la partie inférieure dans la partie supérieure.
Étape 2. Vous avez maintenant une intégrale qui ressemble à
Le facteur le fond de la fraction en un produit de termes linéaires et quadratiques termes irréductibles.
- Un terme linéaire est un terme où la variable se produit uniquement à la première mise sous tension. Voici quelques termes linéaires:
- Un terme quadratique irréductible est un terme quadratique avec seulement des racines imaginaires (complexes). Autrement dit, il est un second degré qui « ne tient pas compte ». Voici quelques termes du second degré irréductibles:
Vous pouvez vérifier qu'un second degré est irréductible en utilisant la formule quadratique générale pour trouver ses racines. Si les racines sont des nombres complexes, le second degré ne tient pas.
Ceci est le coeur de la méthode des fractions partielles. Il est fondamentalement beaucoup d'algèbre, mais il est assez compliqué que la meilleure façon de le décrire est en faisant quelques exemples.
Le sommet a degré 3 tandis que le fond est de degré 2. Diviser le fond dans la partie supérieure:
longue division à l'étape 1 est une opération préliminaire qui met l'intégrale dans la bonne forme pour le reste de la procédure. Si vous faites une division, vérifiez avant d'aller voir si vous pouvez utiliser une technique simple (comme la substitution) pour faire les Intégrales que vous avez obtenus. Parfois, vous pouvez compléter immédiatement l'intégration; sinon, vous devrez passer à l'étape 2.
Multipliez pour dénominateurs clairs:
Branchez les valeurs a et c de retour dans:
Sinon, prendre l'équation (*). Multipliez le b terme:
Puisque c'est une identité. Je peux différencier les deux parties:
Enfin, faire l'intégrale:
utiliser des fractions partielles? À savoir, quelle est l'équation de fractions partielle initiale?
utiliser des fractions partielles? À savoir, quelle est l'équation de fractions partielle initiale?
Ainsi, un facteur quadratique (ou un facteur quadratique à une puissance) produira des termes à droite avec « deux lettres » sur le dessus.
Le raisonnement est le même que celui que j'ai donné des facteurs répétés. Je ne sais pas quel genre de fraction à attendre, donc je dois prendre le cas le plus général.
À ce stade, je suis à court de numéros « nice » à brancher pour x. Il y a plusieurs façons de procéder.
En second lieu, puisque l'équation est une identité. Je peux . Cela, je reçois
Vous pouvez utiliser toute combinaison de différenciation et de brancher ce que vous le souhaitez.
Vous poignée répétiez facteurs quadratiques comme vous gérer les facteurs linéaires répétés.
utiliser des fractions partielles? À savoir, quelle est l'équation de fractions partielle initiale?
Ainsi, l'intégrale devient
Dans ce cas, il n'y a pas de valeur de x je peux brancher ce qui me permettra de résoudre pour l'un des a, b, c, d immédiatement. Par conséquent, je vais devoir brancher et obtenir des équations. que je vais résoudre en même temps plus tard.
Différencier l'équation pour obtenir
Différencier une fois de plus:
Par conséquent, l'intégrale devient
Par conséquent, l'intégrale devient
Je vais faire le second terme séparément, étant donné que le premier terme est facile. L'idée est de compléter le carré, puis faire une substitution:
Maintenant, je peux soit brancher une valeur de x de façon aléatoire, ou se différencier. Je vais différencier:
L'intégrale est
Je vais faire les Intégrales séparément. Premier,
Je peux faire la première intégrale en utilisant une substitution:
La seconde exige d'achever la place.
Mettre les deux ensemble,
Enfin, la réponse au problème d'origine est