Nombre Théorie Proofs

Si p est premier avec p = 3 (mod 4), alors il n'y a pas de solution à p = a 2 + b 2 de la table vers la droite, et à l'étape 2 ci-dessus aucune solution à i 2 = -1 (mod p) .

Si p = 2, alors 1 2 = -1 (mod p).

Si p est premier avec p = 1 (mod 4), puis

Si n = a 2 + b 2. prime p = 3 (mod 4), p | n alors p | une. p | b et p 2 | n

Preuve. Si a 2 + b 2 = 0 (mod p), puis a 2 = -b (mod p). a = 0 (mod p) et b = 0 (mod p), sinon on pourrait écrire (a / b) 2 = -1 (mod p), mais il n'y a pas de solution à i 2 = -1 (mod p) pour premier p = 3 (mod 4).

Ce résultat est généralement indiqué dans les manuels de comptage négatifs et réordonnancement comme des représentations séparées, donc par exemple 5 = 1 2 + 2 2 = 2 2 + 1 2 = -1 2 + 2 2 + 2 = -1 -2 2 =. un total de 8 représentations. Cela est logique si vous voulez compter le nombre de points du réseau 5 unités de l'origine, mais il peut être une nuisance autrement. La discussion traite ici ces représentations comme équivalent, par exemple 5 = 1 2 + 2 2 (5 peut être écrite comme la somme de deux carrés en une manière seulement), 65 = 1 2 + 8 2 = 7 2 + 4 2 (65 peut être écrite comme la somme de deux carrés en 2 façons).

0 si Q est pas un carré

numsq (P) si Q est un carré

Preuve. Si n = a 2 + b 2. Premier q = 3 (mod 4), q | n alors q | une. q | b et q 2 | n. Ceci permet de réduire à un plus petit cas n / q 2 = (a / t) 2 + (b / q) 2. Réduction Suite supprime les nombres premiers égal à 3 (mod 4) par paires, de sorte que toute somme des carrés solution de correspond à n un-à-un à un des carrés-de-somme solution de n / 2 Q = P r si Q est un carré, ou donne une contradiction [impliquant numsq (n) = 0], si Q représente pas un carré.

À compléter. preuve de la valeur de numsq (P) où P est un produit de nombres premiers égal à 1 (mod 4

Articles Liés

• Pourquoi les preuves évitaient analyse complexe préféré dans la théorie des nombres Cette distinction est encore

• La théorie du nombre