Pourquoi les preuves évitaient analyse complexe préféré dans la théorie des nombres Cette distinction est encore
Je lis sur Wikipédia une preuve élémentaire dans la théorie des nombres signifie une preuve qui n'utilise pas l'analyse complexe.
D'après ce que je me souviens avoir lu, dans le temps de Hardy, preuves en évitant des analyses complexes ont été préférés.
Je voudrais poser ces deux questions, avec l'accent sur le second:
- Quelles ont été les raisons pour lesquelles des preuves sans analyse complexe ont été préférées?
- Cette distinction est encore important aujourd'hui?
Cette question est née d'une discussion sur méta-informations sur ce poste.
Je l'ai vu ce post lié, mais je dirais que ce n'est pas la même question: la preuve élémentaire du théorème des nombres premiers - Nécessité? . Cette question se pose plus de savoir si trouver une preuve élémentaire a eu des conséquences importantes pour l'utilisation de méthode similaire dans d'autres domaines. (Mais Matt E de réponse publié il traite également de la motivation pour la recherche d'une preuve élémentaire. Ainsi, il peut également être considéré comme une réponse à la première puce ci-dessus.)
Ce poste mathoverflow est également intéressant dans ce contexte: complexe et élémentaire dans Proofs théorie des nombres. Il examine les résultats où théorie des nombres basés sur des analyses complexes peuvent également être représentés sans l'aide de méthodes complexes analytique.
Dans la preuve élémentaire du théorème des nombres premiers - Nécessité? J'adresse un peu à ce sujet, mais je suis d'accord que votre question est distincte.
Quelles ont été les raisons pour lesquelles des preuves sans analyse complexe ont été préférées?
Comme je l'ai entendu parler de Jeffrey Vaaler, et d'autres qui étaient plus proches autour de la période en question, il y avait quelque chose d'une croyance selon laquelle une preuve sans analyse serait en quelque sorte éclairer quelque chose de profond sur la complexité des résultats impliqués. L'utilisation d'soustraient à la analyse complexe signifierait qu'il était peut-être « moins difficile que nous le pensions », ou tout au moins ce fut la vue à l'époque. Cela reflète le désir de comprendre la nature exacte du théorème, est fondamentalement liée à l'arithmétique ou était l'excursion dans le côté Fourier des choses vraiment nécessaires, et si oui: pourquoi? Cela, pour moi au moins, semble tout à fait naturel pour un mathématicien, alors que nous cherchons non seulement à connaître les résultats, mais pour les comprendre correctement. Le théorème de Lagrange est vraiment une déclaration sur la nature homogène des groupes, quelque chose qui donne la motivation et l'intuition pour des choses comme des groupes topologiques, même si le premier est tout simplement une déclaration sur la divisibilité des commandes. Il y a, bien sûr beaucoup d'autres exemples, mais vous avez également la réponse dans l'autre sujet, je vais réduire davantage l'exposition de ma part pour cette puce.
Cette distinction est encore important aujourd'hui?
Je ne l'ai pas senti du tout dans les conférences, les documents, et ainsi de suite que je l'ai lu dans l'environnement de la théorie des nombres d'aujourd'hui. Il semble que c'était un sentiment populaire à l'époque, mais - surtout après l'absence de nouveaux résultats très intéressants qui pourraient être prouvé avec la preuve Erdös-Selberg - qui est mort en forte baisse à l'endroit où il n'est plus détectable, même parmi ceux qui étaient successeurs immédiats des mathématiciens comme Hardy.
Beaucoup comme preuves qui n'utilisent pas l'axiome de choix, il est devenu moins d'une préoccupation de la communauté au fil du temps. De la même façon que nous avons tous en quelque sorte « habituer à » nouveaux résultats en mathématiques et deviennent moins méfiants que les détails de la preuve se plus facile à comprendre avec la répétition de la lecture, des choses comme l'axiome de choix sont devenus la routine. Je pense que c'est un analogue exact avec la preuve élémentaire, en dépit de toutes les bases solides, la culture au moment simplement plus fortement les techniques élémentaires de valeur. Comme incroyablement utile que l'analyse harmonique est aujourd'hui, ce n'était pas tout le chemin aussi développé qu'il est maintenant. Le théorème de Wiener-Ikehara n'a été publié en 1931, et la thèse de Tate qui a des choses à un point très intéressant avec l'analyse harmonique plus abstraite plutôt que strictement sur l'espace euclidien est venu en 1950, et le texte de Rudin sur l'analyse de Fourier sur les groupes était en 1962, qui était après le temps de Hardy.
En bref des approches plus modernes ont été développés, éprouvée par le feu, et jugé supérieur à beaucoup d'épreuves classiques et techniques. Dans une sorte de survie scolaire des plus aptes, l'approche élémentaire a été trouvée défavorable par la grande majorité après avoir été incapable de livrer ce qui était espéré, et d'autres techniques ont depuis supplanté les comme plus « en vogue » façons d'aborder les problèmes. Il y a certainement des endroits où d'excellentes nouvelles mathématiques sort des approches élémentaires, UIUC pour un a beaucoup d'excellents théoriciens des nombres qui sont qualifiés à de telles choses. Je ne pense pas que la communauté de la théorie des nombres à-grands regards avec une plus grande faveur à ces approches comme il l'a fait dans le jour de Hardy.