Utiliser des instruments dérivés pour résoudre des problèmes d'optimisation de la région
Un problème pour maximiser (optimisation) la surface d'un rectangle à périmètre constant est présenté. Une applet interactif est utilisé pour comprendre le problème. Ensuite, une méthode d'analyse, sur la base des dérivés d'une fonction et certains théorèmes de calcul, est développé afin de trouver une solution analytique au problème.
Essayons de comprendre le problème en utilisant l'applet ci-dessous. Il y a plusieurs façons que vous pouvez construire un rectangle de périmètre de 400 mm. Mais comment obtenir un avec superficie maximale.
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Nous attendons maintenant une solution à ce problème en utilisant des dérivés et d'autres concepts de calcul.
Résoudre l'équation 400 = 2x + 2y pour y
Nous remplaçons maintenant maintenant y = 200 - x dans la zone A = x * y obtenir.
Zone A est une fonction de x. Lorsque vous modifiez la largeur x dans l'applet, la zone A sur le changement de panneau de droite.
Développez l'expression de la zone A et écrire en fonction de x.
nous pourrions considérer le domaine de la fonction A (x) comme étant toutes les valeurs de x dans l'intervalle fermé [0. 200] depuis x> = 0 et y = 200 - x> = 0 (si vous résolvez la seconde inégalité, vous obtenez x <= 0).
Pour trouver la valeur de x qui donne une superficie maximum, nous devons trouver la dérivée première dA / dx (A est une fonction de x).
Si A a une valeur maximale, il arrive à x tel que dA / dx = 0. les extrémités du domaine, nous avons (0) = 0 et A (200) = 0.
dA / dx = -2x + 200 = 0
Résoudre l'équation ci-dessus pour x.
dA / dx a un zéro à x = 100.
La dérivée seconde d 2 A / dx 2 = -2 est négatif. (Voir théorème de calcul sur l'utilisation de la première et la seconde dérivée pour déterminer extremma des fonctions). La valeur de la zone A à x = 100 est égale à 10 000 mm 2 et est la plus grande (maximum). Donc, si vous sélectionnez un rectangle de largeur x = 100 mm et une longueur y = 200 - 200 x = -, on obtient un rectangle avec superficie maximale égale à 10 000 mm 2 100 = 100 mm (il est un carré!).
1 - Résoudre le même problème que ci-dessus mais avec le périmètre égal à 500 mm.
solution à l'exercice précédent
largeur x = 125 mm et une longueur y = 125 mm.