Approximation Journaux et Antilogs main - Mathématiques Stack échange
J'ai lu des questions telles que logarithmes Calculer la main et et une partie de la série de conférences Feynman qui parle de calcul de logarithmes. J'ai reconnu aucun d'eux utile à mon but qui est de calculer rapidement logarithmes de base de 10 $ jusqu'à 4 $ précision chiffres de $
(Je crois que 4 est le nombre goldilocks dans ce cas).
Je souhaite trouver des choses comme $ \ log_ (2) \ environ 0,3010 $ rapidement sans utiliser une calculatrice ou une table log. Pourquoi? Parce que je veux être libre de les transporter et de les perdre toute la journée. De plus, ils ne sont pas toujours disponibles quand je les ai besoin (vous pouvez deviner pourquoi). Mon but principal est de rapprocher les réponses des résultats très grands et très petits calculs de consommation de temps. Logarithmes font ce travail beaucoup plus facile pour moi. Par exemple,
Selon Wolfram (Eh oui, je suis paresseux que) la réponse est, 50630,0 $ \ overline $. Oui, je l'ai surestimés d'environ $ 60 $, mais grâce à une table de journal, je l'ai fait approximation aussi vite qu'il a Wolfram pour charger la réponse précise dans mon navigateur. Mais, sans une table de journal, se divisant me ferait exécuter une convergence itérative juste pour trouver les multiples.
(1729 * 2 = trop faible, 1729 * 8 = trop élevé. Cela doit être si intuitive pour la plupart d'entre vous)
J'espère que tu peux aider.
Pour donner une approximation pour au moins 4 $ chiffres $ en général à la main, je pense qu'il est presque impossible. Si vous connaissez des résultats de la théorie de l'approximation après que vous pouvez apprécier les tables de logarithmes.
Bien sûr, la première idée est le développement de Taylor pour quelques termes. Nous savons que pour $ | x | \ Leq 1 $ et $ x \ neq $ -1 pour la série $ \ ln (1 + x) $ est le suivant. $$ \ ln (1 + x) = \ sum _ ^ \ infty \ frac> x ^ n = x - \ frac + \ frac - \ cdots $$ Vous pouvez "exécuter" à la main à partir de $ n = 1 \ 3 points $ et $ \ ln (2) $ vous obtenez 0,8333333333 $ $. La valeur correcte pour $ \ ln (2) $ est 0.6931471806 $ $. Le problème est donc derrière le taux de convergence. Il existe également des restrictions de domaine pour cette méthode importent.
Pour les petits $ x valeurs de $, nous savons aussi que $ \ log (x) \ environ \ frac $ et $ \ log (1 + x) \ x environ $. Ce qui est également pas une bonne approximation, mais nous pouvons l'utiliser pour des valeurs moins de 1 $. Avec des tours de identitiy-logarithme vous pouvez le rendre plus précis, mais nous avons de meilleures solutions.
Maintenant, jetez un oeil à des inégalités. Nous avons que pour tous $ x> 0 $: $$ 1- \ frac \ leq \ Dans x \ leq x-1 $$ Ou nous pouvons écrire à la forme pour tous $ x> -1 $. $$ \ frac \ leq \ ln (1 + x) \ leq x. $$
Nous prendrons pour $ n = 3 $, parce que je pense que ce deux funcion rationnel est ce que nous pouvons gérer la main. Si vous êtes bon calcul mental et vous pouvez mémoriser facilement des fonctions, vous pouvez prendre des commandes plus élevées du papier que je refered ci-dessus. Donc, pour la limite inférieure $ \ phi_3 nous obtenons $ $$ \ phi_3 (x) = \ frac, $$ et pour la \ $ majorant psi_3 nous obtenons $ $$ \ psi_3 (x) = \ frac $$.
Pour evaulate ces deux fonctions à la main, vous avez juste besoin d'ajouter, multiplier, diviser, et prendre le pouvoir entier d'un nombre.
Pour voir comment accuare cette méthode que je vous donne des résultats.
Bien sûr, parce que la méthode fonctionne pour les petites valeurs de $ x $ mieux, si vous avez de gros $ x $, alors vous pouvez combiner Padé approximants avec des identités logarithmiques. Par exemple 51 $ $ a les facteurs premiers $ 3 $ et 17 $ $, à cause de cela, nous pouvons écrire $ \ ln (51) $ sous la forme $ \ ln (51) = \ ln (3) + \ ln (17) $ afin $$ \ phi_3 (50) \ leq \ phi_3 (2) + \ phi_3 (16) = 3,766096945 \ leq \ ln (51) $$ est une meilleure limite inférieure, et $$ \ ln (51) \ leq \ psi_3 ( 2) + \ psi_3 (16) = 4,521380547 \ leq \ psi_3 (50) $$ est une meilleure limite supérieure.
Ceci est aussi une bonne approche pour obtenir approximation pour $ \ log_b (x) $. Par exemple, pour $ \ log_ (2) = \ ln (2) / \ ln (10) = 0,3010299957 $, on peut dire qu'il se situe entre $ \ psi_3 (1) / \ psi_3 (9) = 0,2781037037 $ et $ \ phi_3 (1) / \ phi_3 (9) = 0,3085189562 $.
Et enfin, si vous obtenez un $ n = 5 $ pour Padé approximants et utiliser des identités logarithmiques alors vous obtenez l'approximation suivante pour $ \ log_ (2) $ avec $ \ phi_5 $.
qui est correct pour les 4 premiers chiffres $ $.
Vous pouvez approcher la fonction exponentielle avec cette méthode aussi. Lisez à ce sujet dans cet article. ou dans ce mathoverflow répondre!
Comme vous voulez faire des calculs à la main, vous demandez simplement comment construire une table de logarithmes.
Il y a au moins deux façons:
Je peux donner plus de détails si nécessaire.
La combinaison de la série pour $ \ ln (1 + t) $ et $ \ ln (1-t) $, vous obtenez une série avec des termes que impaires, il est donc plus rapide à utiliser.
Il existe aussi des méthodes pour calculer logarithmes des fonctions trigonométriques: formules trigonométriques sont très utiles pour simplifier beaucoup de calculs par logarithmes.
Je serais heureux de se développer sur une partie, mais je voudrais comprendre ce que vous voulez vraiment. Et remarquez, il y avait un truc utilisable à la main sans table, aucune règle de diapositives, et rien que d'un stylo et du papier, il aurait été utilisé à la place des tables poids lourds :-) Ce n'est pas par hasard ou de la magie qu'ils étaient si répandus avant l'apparition des calculatrices.
et un fait « musical »:
- beaucoup de nombres rationnels avec petit numérateur et le dénominateur peuvent être approchées comme des puissances de 2 $ ^ $.
J'appelle cela un fait « musical » parce que 2 $ ^ $ est le rapport de fréquence correspondant à un (tempérament égal) demi-ton.
Par exemple: 3/2 $ est le rapport de fréquence correspondant à l'intervalle musical d'un cinquième parfait, ce qui est de sept demi-tons; ainsi 3/2 \ $ environ 2 ^ \ ^ $ à environ 10 $ et ainsi \ log_ 02/03 \ environ 7/40 $.
répondit le 4 septembre '14 à 15h09
Ceci est si beau: D - Nick 6 septembre '14 à 06h06
Jacques Laporte a une page expliquant certains algorithmes qui fonctionnent chiffre par chiffre. Pour les autres fonctions (par exemple trigonométriques et hyperboliques) il y a la classe des algorithmes CORDIC. Ces algorithmes ont été utilisés dans les premières calculatrices HP, car ils ont besoin du matériel modeste.
Sur le calcul: Le calcul de logarithmes à la main a été un intérêt de mes derniers temps, et ma méthode est assez simple. La précision est généralement environ 4 chiffres. Je ne pense pas que je peux l'expliquer mieux que je peux le montrer, donc je vais utiliser l'exemple de votre journal 1729.
Tout d'abord, nous décomposons. log 1729 = log 1000 + log 1,729 log 1000 = 3 donc log 1729 = 3 + log 1,729
log = 1,729 En 1,729 / ln 10
ln = ln 1,729 1,65 + ln (1,729 / 1,65)
ln est d'environ 1,65 à 0,5, de sorte que 1,729 ln = 0,5 + ln (1,729 / 1,65)
(Oui, cela ne vous oblige à connaître quelques-uns des logarithmes naturels, comme étant d'environ 1,65 ln 0.5-- voir la fin pour plus à ce sujet)
Dans 10 = ln (7,39) + ln (10 / 7,39) 10 ln = 2 + ln (10 / 7,39) (environ)
Si nous remontons et branchez les choses, nous obtenons ce journal équivaut à environ 1,729:
Voici l'astuce: Quand x est compris entre 1 et 1,65, ln x est à peu près égale à (x ^ 2 -1) / (2x)
Faire ce même processus, ln (10 / 7,39) est à peu près 0,307089986, ce qui rend à peu près 10 Dans 2,307089986
- Diviser le journal d'origine (comme la notation scientifique)
- Utiliser le changement de formule de base sur le reste
- Diviser le numérateur / dénominateur du reste jusqu'à ce que la seule partie à l'intérieur du logarithme est compris entre 1 et 1,65
- Appliquer la formule à la partie encore dans le logarithme
- Simplifier
Il serait malhonnête de ne pas mentionner les domaines dans lesquels ce processus fait défaut. Voici les principales mises en garde:
Eh bien, cela a longtemps rapidement. Espérons que cela peut vous aider ou quelqu'un d'autre qui arrive à tomber par hasard sur le fil comme je l'ai fait.