Comment faire des fractions partielles
Ajout des expressions rationnelles
En arithmétique, vous avez appris à ajouter des fractions. Vous avez trouvé le plus petit dénominateur commun, puis élargi à la fois le numérateur et le dénominateur de chaque terme par ce qui était nécessaire pour compléter le dénominateur commun.
En algèbre, vous avez porté ce processus sur l'addition des expressions rationnelles. Vous multiplies encore une fois le numérateur et le dénominateur de chaque terme par ce qui manquait du dénominateur de ce terme.
Lors de la discussion polynômes à la section 3.4. nous avons appris que tout polynôme avec des coefficients réels peuvent être pris en compte en utilisant uniquement des facteurs linéaires et du second degré irréductibles. Cela signifie qu'il n'y a que deux types de facteurs que nous avons à craindre.
Facteurs linéaires
facteurs quadratiques. incompressibles
Facteurs répétés
Par exemple, si vous avez un (x-2) 3. vous devrez inclure un (x-2), un (x-2) 2. et un (x-2) 3.
Les exposants de 2 ou 3 ne change pas si le facteur est linéaire ou quadratique, seulement combien de fois le facteur est là. Chacun de ces (x-2) facteurs bénéficieraient d'un terme constant dans le numérateur, car x-2 est linéaire, peu importe quelle puissance il est porté à.
Une mauvaise fractions
Une fraction appropriée est une fraction où le numérateur est inférieur au dénominateur. Pour les expressions rationnelles, cela signifie que le degré dans le numérateur est inférieur au degré dans le dénominateur. Si vous avez une fraction impropre, vous devez d'abord effectuer la division de temps pour obtenir un quotient et un reste.
La base équation
Après la mise en place de l'équation de fraction partielle, on multiplie les deux côtés de l'équation par le plus petit dénominateur commun pour se débarrasser des fractions. L'équation résultante, sans que les fractions, est appelée la base d'équations.
Technique 1 - Choisissez des valeurs pour x
Dans l'exemple à droite, nous prenons chaque facteur dans le dénominateur et lui donner son propre terme sur le côté droit. Étant donné que chaque facteur dans le dénominateur est linéaire et les expressions rationnelles doivent être bon, a été placé un terme constant dans chaque numérateur de chaque terme. On multiplie à travers par le plus petit dénominateur commun pour arriver à l'équation sans les fractions. Cette équation est appelée la base équation et est.
x + 2 = A (x - 4) + B x
valeurs « Nice » pour x sont ceux qui causent chaque facteur linéaire à zéro. Dans ce cas, x = 4 et x = 0 sont agréables. Les valeurs « Nice » causeront tous les termes sauf une à la chute de l'équation, et ainsi vous serez en mesure de trouver la valeur d'une variable très rapidement.
Lorsque vous laissez x = 0, le terme B abandonne et vous obtenez.
0 + 2 = A (0 - 4) ou 2 = -4A. Solving qui donne A = -1/2.
Lorsque vous laissez x = 4, les gouttes A terme et vous obtenez.
4 + 2 = B (4) ou 6 = 4B. Solving qui donne B = 3/2.
Remarque: Il y a seulement autant de valeurs agréables comme il y a différents (différents) facteurs linéaires. Si on répète des facteurs linéaires ou facteurs irréductibles du second degré (répété ou non), vous n'aurez pas assez de valeurs « belles » pour choisir. Dans des cas comme cela, vous devrez choisir des valeurs pratiques, mais pas si agréable et puis remplacer les constantes connues dans l'équation pour trouver les autres constantes. Branchez les numéros faciles comme x = 0, x = 1, etc.
Vous devez choisir autant de valeurs pour x comme il y a des constantes à trouver.
Technique 2 - Création d'un système d'équations linéaires
La première technique de choisir des valeurs pour x fonctionne très bien lorsque tous les facteurs sont distincts des facteurs linéaires. S'il y a des facteurs linéaires, alors première méthode est encore probablement la meilleure technique à utiliser. Cependant, s'il n'y a que des facteurs irréductibles du second degré, la méthode de sélection des valeurs pour x peut devenir malpropre.
Il y a une autre façon de faire ces problèmes (en fait, cette technique fonctionnera quand il y a des facteurs linéaires, juste que l'autre est plus facile et plus rapide).
2x 2 + x + 8 = Ax (x 2 + 4) + B (x 2 + 4) + cx + d
Maintenant, la différence vient.
Allez-y et développer (multiplier out) l'équation de base.
2x 2 + x + 8 = Ax + 3 4AX + Bx 2 + 4B + cx + d
et regrouper les termes par des puissances communes de la variable x.
2x 2 + x + 8 = Ax + Bx 3 2 + 4AX + cx + 4B + D
Maintenant factoriser les x par le pouvoir.
2x 2 + x + 8 = (A) x 3 + (B) x 2 + (4A + C) x + (4B + D) (1)
La partie suivante fonctionne parce que si deux polynômes vont être égaux, ils doivent avoir le même nombre de termes similaires sur les deux côtés. Donc, l'astuce est là pour assimiler les deux côtés de l'équation ensemble en assimilant des termes similaires.
Définir les termes x 3 sur le côté gauche (dont il n'y en a pas) égal aux termes x 3 sur le côté droit (dont il existe A) pour arriver à la première équation 0 = A. Eh bien, ce qui était assez facile, et vous avez déjà la valeur pour A.
Réglez le x 2 termes sur la gauche (dont il existe 2) égal au x 2 termes du droit (dont il existe B) pour arriver à la deuxième eqation de 2 = B. Maintenant, vous connaissez B.
Pour les x, il y a 1 sur la gauche et 4A + C à droite, donc 1 = 4A + C.
Pour les constantes, il y a 8 sur la gauche et 4B + D à droite, donc 8 = 4B + D.
Assurez-vous et simplifier la réponse si nécessaire.
Cet exemple était en fait assez facile parce que vous étiez en mesure de trouver A et B dès le départ. Plusieurs fois, vous aurez besoin de résoudre un système d'équations beaucoup plus pour trouver les valeurs.