Intégration par fractions partielles
LA METHODE DE L'INTEGRATION PAR PARTIELLES FRACTIONS
Tous les problèmes suivants utilisent la méthode d'intégration par des fractions partielles. Cette méthode est basée sur le concept simple d'ajouter des fractions en obtenant un dénominateur commun. Par exemple,
Ce concept peut également être utilisé avec des fonctions de. Par exemple,
Supposons maintenant qu'il existe des constantes et que
On peut montrer que ces constantes existent toujours pour la fonction rationnelle si les deux conditions suivantes sont réunies. Elles sont- 1. Les deux sont des polynômes et des constantes (conjointement avec des puissances entières positives de seulement)
- 2. le degré (puissance la plus élevée de) de plus petit que le degré de.
(Obtenez un dénominateur commun et ajouter les fractions.)
Etant donné que les fractions dans l'équation ci-dessus ont les mêmes dénominateurs, il en résulte que leurs numérateurs doivent être égales. Ainsi,
Le côté droit de cette équation peut être considérée comme une fonction est égale à 6 pour toutes les valeurs de. En particulier, il doit aussi être vrai pour les valeurs spécifiques de. Par exemple, si nous choisissons de
Si nous choisissons de
Il convient de noter que et ont été choisis pour une utilisation dans l'équation (**) pour leur commodité de `` mettre à zéro » termes dans l'équation. Cependant, les deux autres choix pour conduiront à exactement les mêmes valeurs et (après résolution de deux équations à deux inconnues). Essayez-le. Après se familiariser avec ce processus, afin de gagner du temps, prendre l'habitude d'aller de l'étape à l'équation (*) directement à l'étape à l'équation (**). Voici un autre point important à considérer lors de l'application de la méthode des fractions partielles à la fonction rationnelle. Si le degré (puissance la plus élevée) de est égal ou supérieur au degré de, vous devez utiliser division polynomiale afin de réécrire la fonction rationnelle donnée comme la somme d'un polynôme et une nouvelle fonction rationnelle vérifiant la condition 2 ci-dessus. Par exemple, la division polynomiale conduit à
où la fonction rationnelle sur le côté droit de l'équation satisfait la condition 2. Il y a d'autres points à considérer. Rappelons que le nombre complexe et si bien que. En outre, si deux nombres complexes sont égaux, leurs réels et composants complexes sont égaux. Autrement dit, si
Supposons maintenant qu'il existe des constantes et que
Depuis est une expression quadratique irréductible, en supposant seulement
(Obtenez un dénominateur commun et ajouter les fractions.)
Etant donné que les fractions dans l'équation ci-dessus ont les mêmes dénominateurs, il en résulte que leurs numérateurs doivent être égales. Ainsi,
Cette équation peut être considéré comme deux fonctions sont égales entre elles pour toutes les valeurs de. En particulier, il doit aussi être vrai pour les valeurs spécifiques de. Par exemple, si l'on `` pratique » choisir de
Si nous choisissons de
Nous supposerons connaissance des règles de différenciation suivantes.- une.)
- b.)
- c.)
- . où est une constante
- . où est une constante
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