Comment faire la preuve par l'épuisement
CONSEILS POUR LES ETUDIANTS POUR LES PREUVES D'APPRENTISSAGE
Les épreuves sont construits en utilisant des définitions, des théorèmes et des faits. Donc, pour pouvoir faire des preuves, vous devez avoir les définitions pertinentes, théorèmes et faits mémorisés. Quand un nouveau sujet est d'abord introduit les preuves utilisent généralement que des définitions et des idées mathématiques de base telles que les propriétés des nombres. Une fois que vous avez appris quelques théorèmes sur un sujet que vous pouvez les utiliser pour des preuves plus théorèmes.
Pour savoir comment faire des preuves choisir plusieurs déclarations avec des preuves faciles qui sont données dans le manuel. Notez les déclarations, mais pas les preuves. Ensuite, voir si vous pouvez les prouver. Les élèves tentent souvent de prouver une déclaration sans utiliser l'hypothèse entière. Gardez à l'esprit que vous devez utiliser l'hypothèse. Si vous ne pouvez pas prouver la déclaration, regardez la première ligne de la preuve dans le texte. Cela pourrait être suffisant pour commencer. Dans le cas contraire, puis regardez la ligne suivante et ainsi de suite. Pratiquez prouvant les déclarations que vous avez sélectionnée jusqu'à ce que vous pouvez faire les preuves sans regarder le texte. Celui que vous avez maîtrisé vos sélections originales choisir quelques nouvelles et pratique ceux-ci. Il existe une relation directe entre votre compréhension du sujet et votre capacité à faire des preuves. Proofs votre compréhension tester. Ils testent également votre créativité.
COMMENT COMMENCER
Commencez une preuve en réécrivant ce que vous donne et ce que l'on vous demande de prouver sous une forme plus pratique. Souvent, cela implique la conversion de mot aux symboles et en utilisant les définitions des termes utilisés dans les déclarations. Un exemple est « Prouver que le produit de deux nombres réels non nuls est non nul. » Cela se transforme en « Si a et b sont des nombres réels non nuls, prouver que ab ≠ 0. » Commencez la preuve avec "On suppose que a ≠ 0 et b ≠ 0. Prouver que ab ≠ 0." (Nous fournissons une preuve de cette déclaration dans la section sur la preuve par contradiction.) Il est important de commencer par la réécriture à la fois les hypothèses et les conclusions car cela souligne que le premier est ce que vous devez travailler avec et ce dernier est votre objectif.
Des exemples de conversion de mots de symboles sont les suivants:
n est un entier pair convertit en n = 2t pour une t
n est un nombre entier impair convertit en n = 2t + 1 pour une t
n est un nombre rationnel convertit en n = a / b où a et b sont des nombres entiers
n est un diviseur de m convertit en m = nt pendant un certain entier t
n est un carré se transforme en t n = 2 pour un t entier.
Dans une preuve directe vous donne une ou plusieurs conditions et qu'on vous demande de prouver une conclusion. Pour preuves en algèbre abstraite, vous êtes autorisé à utiliser les conditions données, ainsi que des axiomes, des définitions et des faits réels standards sur les nombres, les nombres complexes, haute Pépite et algèbre linéaire sans élaboration. Dans une preuve directe d'une déclaration de la forme A implique B, vous commencez votre preuve en supposant que A est vrai et passer par une série d'étapes se terminant par B.
À titre d'exemple, considérons la déclaration « La somme de deux nombres rationnels est rationnel. » Pour prouver cela, nous utilisons la définition d'un nombre rationnel et convertir les mots à des expressions en refondant la déclaration comme « Si a, b, c et d sont des nombres entiers et b ≠ 0 et d ≠ 0 ne sont pas 0, a / b + c / d est de la forme m / n où m et n sont des nombres entiers « . Pour prouver cette affirmation, nous observons que depuis a / b + c / d = (ad + bc) / bd et ad + bc est un entier et ≠ 0. bd la preuve est terminée.
PREUVE PAR CONTRADICTION
La preuve par contradiction est une façon naturelle de procéder lorsque la conclusion que vous annulant donne quelque chose de concret à manipuler. Pour prouver l'énoncé « A implique B » par la contradiction, commencer en supposant que A est vrai et B n'est pas vrai et finissent par arriver à une contradiction (contredisant éventuellement déclaration A). Par exemple, un énoncé tel que « Prouver que log2 3 est irrationnel » est un choix évident pour une preuve par contradiction car en supposant que log2 3 est rationnel vous permet d'écrire log2 3 = m / n où m et n sont des nombres entiers. De cela, nous avons 3 = 2 m / n et donc 3 n = 2 m. Depuis le côté droit est même et le côté gauche est étrange, nous avons contredites un fait de base sur les entiers. Si vous vous disputez en contradiction, ne finissent pas en disant « une contradiction ». Vous devez indiquer ce que vous contredisez (habituellement ce sera l'hypothèse, un théorème ou un fait).
Voici un exemple où nous contestons l'hypothèse originale. Pour prouver l'énoncé « La somme d'un nombre rationnel et un nombre irrationnel est irrationnel » par contradiction, nous laissons un être un nombre rationnel et b un nombre irrationnel et supposons que a + b est rationnel. Mais (a + b) + (-a) = b est rationnel. Ceci est en contradiction avec l'hypothèse selon laquelle b est irrationnel.
UN PROUVER « OU » DÉCLARATION
Quand on vous demande de prouver un « ou » énoncé tel que «prouver Affirmation A ou Affirmation B » vous commencez en supposant un de A ou B est faux et l'utiliser pour prouver que l'autre affirmation est vraie. Peu importe lequel des énoncés A ou B vous assumez d'être faux. Si vous assumez A est faux et ne sont pas en mesure de prouver B est vrai, alors supposer B est faux et essayer de prouver que A est vrai. Prouvant une de ces deux possibilités est une preuve complète. Il n'y a pas besoin de faire les deux.
Une autre façon de prouver un « A ou B » déclaration est à prendre à la fois déclaration A et B sont fausses déclaration et d'obtenir une contradiction. La déclaration « Si a et b sont des nombres réels non nuls, prouver que ab est non nulle » est un candidat idéal pour une preuve par contradiction puisque l'hypothèse que ab = 0 vous permet de profiter d'une propriété spéciale de 0. Pour prouver ab ≠ 0 nous supposons que ≠ 0, b ≠ 0 et ab = 0. Comme b ≠ 0. nous savons b -1 existe. Ensuite, a = a (bb -1) = (ab) -1 b = 0 ce qui contredit l'hypothèse selon laquelle a ≠ 0.
PREUVE DE CAS PAR ANALYSE
Une façon courante de construire une preuve directe est d'examiner tous les cas possibles. Considérez l'énoncé « Si le produit de deux entiers est impair, alors les deux d'entre eux sont impairs. » Nous commençons par la conversion des mots à des symboles en désignant les deux entiers par m et n et considérons quatre cas
CASE 1 m et n sont même. Dans ce cas, on peut écrire m = 2 s et n = 2t pour certains s et t. Ensuite mn = 2s2t = 2 (2er) et mn est encore.
CAS 2. m et n sont impairs. Dans ce cas, on peut écrire m = 2 s + 1 et n = 2t + 1 pour certains s et t. Ensuite, mn = (2s + 1) (2t + 1) = 4st + 2s + 2t + 1 = 2 (2st + t + s) + 1 et mn est impair.
Cas 3. m est pair et n est impair. Dans ce cas, on peut écrire m = 2 s et n = 2t + 1 pour certains s et t. Puis mn = 2 s (2t + 1) = + 4st 2s = 2 (2er + s) et mn est encore.
CAS 4. m est impair et n est pair. Ce cas est le même que 3 cas depuis m et n sont interchangeables.
Pour compléter la preuve que nous observons que le seul cas qui ne donne pas un même produit est quand m et n sont impairs.
PREUVE PAR EXPERIMENT
Bien que vous ne pouvez pas prouver généralement des déclarations faites par expérience, de preuves peut être fait avec l'aide de l'expérimentation. On cherche généralement à des cas simples pour mieux comprendre et cette idée se traduit par une preuve.
Considérez l'énoncé « Tout entier impair est la somme de deux nombres entiers consécutifs. » Essayer quelques petits cas, nous avons
3 = 1 + 2
5 = 2 + 3
7 = 3 + 4.
Il semble qu'une tendance générale est 2n + 1 = n + (n + 1) et même cela nous donne une preuve.
Voici un autre exemple. Considérez la mention « Prouver que tout entier impair positif est la différence de deux carrés. » Depuis la déclaration du problème nous dit que nous devons examiner les différences de deux places, nous commençons par énumérer les petits carrés et en prenant quelques différences pour voir si nous pouvons détecter un motif. Les six premières places sont:
0 2 = 0
1 2 = 1
2 2 = 4
3 2 = 9
4 2 16 =
5 2 = 25.
Tenant compte des différences de carrés successifs que nous avons:
1 2 - 0 2 = 1
2 février au 2 janvier = 3
2 mars au 2 février = 5
Avril 2 à mars 2 = 7
2 mai au 2 avril = 9.
Bien qu'il semble que, en prenant la différence des carrés successifs nous obtiendrons tout entier impair positif, nous devons encore prouver que tel est le cas. Constatant que (n + 1) 2 - n = 2
n 2 + 2n + 1 - n 2 = 2n + 1 est l'ensemble de la preuve. De plus, cette preuve est valable pour tous les entiers impairs, et pas seulement les chances positives.
SI ET SEULEMENT SI PREUVES
Lorsque vous essayez de prouver un « si et seulement si » il est recommandé de ne pas utiliser fortement un « si et seulement si » argument. Ils sont difficiles à obtenir correct pour les débutants. , Si vous êtes plutôt demandé de prouver que A est vrai si et seulement si B est vrai, d'abord supposons que A est vrai et utiliser cette hypothèse pour prouver B est vrai. Ensuite, commencez partout en supposant que B est vrai et l'utiliser pour prouver A est vrai. Cette approche nécessite deux épreuves indépendantes.
DEUX ENSEMBLES ATTESTANT SONT EQUAL
Chaque fois que vous êtes invité à prouver un ensemble A est égal à un ensemble B, passez en supposant un élément x appartient à A et utiliser la propriété définition de A à montrer que x appartient à B. assumer ensuite un certain élément x appartient à B et à l'utilisation la propriété de définir B pour prouver que x appartient à A.
Voici un exemple. Pour prouver que (n + 1) 2 - n 2 | où n est un entier> est l'ensemble de tous les entiers impairs Soit (n + 1) 2 - n 2 être un membre quelconque du côté gauche. Etant donné que (n + 1) 2 -n 2 = n 2 + 2n + 1 - n 2 = 2n + 1, nous avons montré que la (n + 1) 2n 2 est un membre de la droite. Maintenant, soit k un membre du côté droit. Puisque k est impair, on peut écrire sous la forme 2n + 1 pour un certain nombre entier n et depuis 2n + 1 = (n 1) 2 -n 2 nous avons montré que k est un membre du côté gauche.
Bien que « la preuve par l'exemple » est pas légitime, vous pouvez réfuter des déclarations faites par le biais d'un seul exemple. Considérez l'énoncé « La somme de deux nombres irrationnels est irrationnel. » Pour réfuter cette déclaration, nous observons simplement que √2 et -√2 sont irrationnelles, mais √2 + -√2 = 0 est rationnel.
Pour prouver un objet est unique suppose que a et b sont deux objets avec la propriété désirée et de montrer cette propriété ainsi que d'autres informations connues pour montrer que a = b. Pour illustrer ceci, la mention « Pour un nombre réel r l'équation x 3 = r a une solution unique nombre réel. » Pour prouver cette affirmation suppose que a et b sont les deux solutions de x 3 = r et utiliser l'algèbre et les propriétés des nombres réels pour prouver que a = b.
Après avoir terminé une preuve, regarder en arrière pour voir si vous avez utilisé toutes les hypothèses. Aussi, assurez-vous que vous avez fourni des raisons pour chaque étape.
Soyez prudent avec négations. La négation de « pour tous » est « il y a au moins un » et vice-versa. Par exemple, la négation de la mention « Pour tout réel x, x 2> 0 » est « Il existe au moins un nombre réel x pour lequel x 2 ≤ 0. » A l'inverse, la négation de « Il existe au moins un nombre réel x pour lequel x 2 ≤ 0 » est « Pour tout nombre réel x, x 2> 0. » Ceux-ci sont faciles à retenir par la pensée d'un énoncé tel que « Tout le monde a réussi l'examen. » La négation est « Au moins une personne a échoué à l'examen. » La négation de « Au moins une personne a échoué à l'examen » est « Tout le monde a réussi l'examen. »
PROUVER UNE FONCTION EST SUR
Prouvant une fonction est « sur » provoque la confusion chez de nombreux étudiants. Si vous souhaitez prouver que certaines fonctions f de A à B est sur, soit b désigne tout élément de B. Vous devez trouver un x dans A tel que f (x) = b (penser à b comme donné et x comme un inconnu ). Pour ce faire remplacer f (x) par la formule réelle pour f (x), puis résoudre pour x en termes de b. Vous devez vérifier si la solution que vous avez obtenu est en jeu A. Voici un exemple. Dites vous demande de prouver que f (x) = x 2 des nombres réels positifs aux réels positifs est sur. Nous laissons b être un réel positif. Ensuite, nous devons résoudre l'équation x 2 = b pour x. Constatant que x = √ b est une solution réelle positive prouve que f est sur. En revanche, si nous avons la même fonction des rationals positifs aux rationals positifs de la fonction n'est pas sur car il n'y a pas de solution rationnelle de l'équation x 2 = 2.