Exponentielle Word Problems
Pour cet exercice, les unités du temps t seront heures, parce que la croissance est mesurée en termes d'heures. Le montant P de départ est la quantité au temps t = 0. Donc, pour ce problème, P = 100. Le montant de fin est A = 450 à t = 6. La seule variable que je n'ai pas de valeur pour la constante de croissance k. qui se trouve être aussi ce que je cherche. Je vais brancher dans toutes les valeurs connues, puis résous pour la constante de croissance:
La constante de croissance est de 0,25 / heure.
- Un certain type de bactéries, étant donné un milieu de croissance favorable, double de la population toutes les 6,5 heures. Étant donné qu'il y avait environ 100 bactéries pour commencer, combien de bactéries qu'il y aura un jour et demi?
Dans ce problème, je sais que le temps « t » sera en heures, parce qu'ils me ont donné la croissance en termes d'heures. Tout d'abord, je vais convertir « un jour et demi » à « trente-six heures », donc correspondent à mes unités. Je sais que P = 100 et je dois trouver un à t = 36. Mais ce qui est la constante croissance « k »? Et pourquoi ils me disent ce que le temps de doublement est?
On m'a donné le temps de doublement parce que je peux l'utiliser pour trouver la croissance constante k. Puis, une fois que j'ai cette constante, je peux continuer à répondre à la question réelle. Donc, cet exercice a en fait deux inconnues, la constante k de croissance et la quantité de fin A. Je peux utiliser le temps de doublement pour trouver la constante de croissance, à quel point la seule valeur restante sera la quantité de fin, ce qui est ce qu'ils ont réellement demandé . Alors d'abord je vais trouver la constante.
Si la population initiale est de 100 puis, en 6,5 heures, la population sera 200. Je vais le mettre en place et pour résoudre k.
À ce stade, je dois utiliser les journaux pour résoudre:
Maintenant que j'ai la constante de croissance, je peux répondre à la question réelle, qui était « Combien de bactéries qu'il y aura trente-six heures? » Cela signifie en utilisant 100 pour P. 36 T. et l'expression ci-dessus pour k; alors je simplifie pour trouver A.
Il y aura environ 4648 bactéries.
Vous pouvez faire une vérification approximative de cette réponse, en utilisant le fait que les processus exponentielles impliquent doublement (ou division) par deux fois. Le temps de doublement dans ce cas est de 6,5 heures, ou entre 6 et 7 heures. Si les bactéries ont doublé toutes les six heures, alors il y aurait 200 en six heures, 400 en douze heures, 800 dans dix-huit heures, 1600 en vingt-quatre heures, 3200 à 30 heures, et en 6400 trente-six heures. Si les bactéries ont doublé tous les sept heures, alors il y aurait 200 en sept heures, 400 à quatorze heures, 800 en vingt et une heures, 1600 à vingt-huit heures, et 3200 en trente-cinq heures. La réponse que nous avons ci-dessus, en 4678 trente-six heures, s'intègre bien entre ces deux estimations.
Avertissement: Lorsque vous effectuez cette simplification de 100E 36 (ln (2) /6.5). essayer de faire les calculs complètement dans la calculatrice afin d'éviter toute erreur d'arrondi. Il est préférable de travailler de l'intérieur, en commençant par l'exposant, puis l'exponentielle, et enfin la multiplication, comme ceci:
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