Formulaire standard pour les équations linéaires

Cette page suppose que le lecteur comprend les concepts suivants:

Le plan de coordonnées.
Représentation graphique des lignes sur le plan de coordonnées.
Pente et l'ordonnée à l'origine pour les équations linéaires.
-forme interception d'une pente pour les équations linéaires, y = m x + b.
Point-forme de pente pour les équations linéaires, y # 150; y1 = m (x # 150; x1).
Les équations des droites parallèles ont la même pente.
Les équations de droites perpendiculaires ont soit
- une étant horizontale et l'autre verticale, ou
- pistes qui se multiplient pour donner -1

Cette page se basera sur tout cela grâce à un examen de la forme standard pour les équations linéaires: Ax + By = C Le formulaire standard pour une équation linéaire en deux variables, x et y. est généralement donnée comme Ax + By = C où, si possible, A, B et C sont des nombres entiers, et A est non-négatif, et, A, B et C ne présentent aucun facteur commun autre que 1. Si nous une équation linéaire sous la forme d'une pente, y = mx + b, nous pouvons modifier cette équation en forme standard. Pour ce faire, nous devons exprimer la pente et l'ordonnée de l'ordonnée à l'origine sous forme de nombre rationnel, qui est, comme le quotient de deux nombres entiers. Pour les types de problèmes que l'on trouve habituellement dans les classes de mathématiques, ce n'est pas beaucoup plus d'une demande. La pente est définie comme étant la variation de y divisée par la variation de x. Ainsi, si nous exprimons la pente que le changement y changement / x, nous aurons atteint notre première demande. L'ordonnée de l'ordonnée à l'origine suit généralement le même schéma, afin que nous puissions exprimer cette valeur, le « b » y = mx + b, comme le quotient de deux nombres entiers, que nous appellerons b_num et b_den. Cela signifie que notre forme pente à l'origine y = mx + b peut être réécrite sous la forme y = (y changement / x changement) x + b_num / b_den Si l'on multiplie les deux côtés de l'équation par le plus petit commun multiple de x changement « et » b_den », l'équation résultante aura aucune fraction. Il apparaît sous la forme Dy = Ex + F où D, E et F sont des nombres entiers. Ensuite, nous ajoutons # 150; Ex aux deux côtés des équations pour obtenir # 150; Ex + Dy = F Pour obtenir cela en forme standard que nous voulons que le coefficient de x soit non négatif. Si # 150; E est en fait négatif, on peut alors multiplier les deux côtés de l'équation soient # 150; 1. Dans les deux cas, on aboutit à une équation qui est de la forme standard, Ax + By = C où, si possible, A, B et C sont des entiers, et A est non-négatif, et A, B et C ne présentent aucun facteur commun autre que 1. regardons quelques exemples.

Le premier exemple sera le plus complexe. On commence par y = (6/5) x + 04/07 La première étape consiste à multiplier les deux côtés par le plus petit multiple de 6 et 4 commun, à savoir 12. 12y = 12 ((5/6) x + 7/4 ) 12y = (12) (5/6) x + (12) (7/4) 12y = 10x + 21 maintenant, nous avons supprimé toutes les fractions, nous apportons le terme x sur le côté gauche. # 150; 10x + y = 21, parce que le coeeficient de x est négatif, on multiplie les deux côtés par # 150; 1. ( # 150; 1)( # 150; 10x + 12y) = ( # 150; 1) (21) On obtient ainsi le résultat désiré, la forme standard 10x + # 150; 12y = # 150; 21

Un autre exemple serait de commencer par y = (1/3) x + 6/5 Le plus petit commun multiple de 3 et 6 est de 6, alors on multiplie les deux côtés par 6 pour effacer les fractions 6y = 6 ((1/3) x + 5/6) = 6y (6) ((1/3) x + (6) (5/6) 6y = 2x + 5 Nous ajoutons # 150; 2x les deux parties à donner # 150; 2x + 6y = + 5 et nous faisons le premier coefficient de x soit positif en multipliant les deux côtés par # 150; 1. ( # 150; 1)( # 150; 2x + 6y) = ( # 150; 1) (5) ( # 150; 1)( # 150; 2x) + ( # 150; 1) (6) y) = # 150; 5 2x + # 150; 6y = # 150; 5 qui est sous forme standard.

Un troisième exemple est la forme interception d'une pente y = # 150; 2x + 8 Ici, on n'a pas besoin de dégager des fractions. Nous pouvons déplacer le terme x sur le côté gauche en ajoutant 2x les deux côtés. 2x + y = 8, ce qui est déjà sous forme standard. Nous avons vu que nous pouvons transformer les équations de forme d'interception de pente dans des équations de forme standard. Mais pourquoi devrions-nous faire cela? Il y a de nombreuses raisons. Tout d'abord, forme standard nous permet d'écrire les équations pour les lignes verticales, ce qui est impossible sous forme d'une pente. Rappelez-vous que les lignes verticales ont une pente non définie (ce qui est la raison pour laquelle nous ne pouvons pas les écrire sous forme pente à l'origine). Cependant, la ligne verticale passant par le point (4,7) présente l'équation de forme standard 1 x + y = 0 4 que l'on pourrait écrire sous la forme encore plus simple, x = 4 [A noter que la ligne horizontale passant par le point (4, 7) a la forme d'une pente y = 0x 7, et la forme standard 0x + 1y = 7. Cet exemple montre pourquoi nous demandons le coefficient de x à premier « non-négatif » au lieu de demander à être « positive ». Pour les lignes horizontales, ce coefficient de x doit être nul.]

Une deuxième raison pour mettre les équations en forme standard est qu'elle nous permet d'employer une technique de résolution de systèmes d'équations linéaires. Ce sujet ne sera pas couvert plus tard dans le cours que nous ne avons pas besoin sous forme standard à ce point. Cependant, il deviendra très utile plus tard.

Une troisième raison d'utiliser forme standard est de simplifier la recherche des lignes parallèles et perpendiculaires. Regardons le problème de ligne parallèle typique. Trouver l'équation de la droite qui est parallèle à la ligne 3x + 4y = 17 et qui contient le point (2,8). L'approche habituelle à ce problème est de trouver la pente de la ligne donnée, puis d'utiliser cette pente avec le point donné sous forme de point pente pour une équation linéaire. Cependant, si nous regardons la forme standard d'une équation linéaire, Ax + By = C et on déplace le terme Ax de l'autre côté par = # 150; A x + C et on divise les deux côtés par B, en supposant que B ne soit pas égal à zéro, on obtient y = ( # 150; A / B) x + C / B qui est la forme d'interception de pente. De cette forme, nous voyons que la pente est # 150; UN B. Toute ligne parallèle à la ligne donnée doit avoir la même pente. Bien sûr, les seules valeurs qui affectent la pente sont A et B du formulaire standard d'origine. Par conséquent, tant que A et B ne changent pas, une ligne qui a une forme standard d'Ax + By = H sera parallèle à la ligne Ax + By = C Si nous revenons au problème initial, « Trouver l'équation de la ligne qui est parallèle à la ligne 3x + 4y = 17 et qui contient le point (2,8) » nous pouvons voir que la réponse doit ressembler à 3x + 4y = H et nous avons juste besoin de trouver la valeur de H. Bien sûr , nous savons aussi que le point (2,8) doit rendre l'équation vraie, donc 3 (2) + 48 = H doit être vrai. Mais cela signifie que nous avons 6 + 32 = H ou 38 H Parce que nous connaissons la valeur de H, nous avons les 3x réponse complète + 4y = 38 Chaque fois que nous recevons une forme standard équations linéaires et on nous demande de trouver l'équation d'une ligne parallèle à travers un point donné, nous savons que la réponse se penchera tout comme l'équation d'origine, mais il aura une valeur constante différente. Nous pouvons constater que la valeur en faisant le travail de l'équation quand on remplace le point intitial dans les équations. « Trouver l'équation de la ligne qui est parallèle à la ligne 2x + # 150; 5Y = # 150; 19 et qui contient le point (4, # 150; 7) » La réponse doit regarder la ligne 2x + # 150; 5y = H et (4, # 150; 7) doit le rendre vrai. Par conséquent, 2 (4) + # 150; 5 ( # 150; 7) = H 8 + 35 = H43 = H et qui nous donne la solution 2x + # 150; 5y = 43

Nous avons vu que lignes parallèles dans la forme standard Ax + By = C ont les valeurs de A et B restent les mêmes. Que savons-nous des lignes perpendiculaires? Regardons deux lignes, sous forme standard Ax + By = CBx + # 150; Ay = D La pente de la première est # 150; A / B et la pente de la seconde est B / A. Si nous multiplions ces ensemble, nous obtenons ( # 150; AB) / (AB) ou # 150; 1. Ces lignes doivent être perpendiculaires. Si nous prenons notre habitude « problème de ligne perpendiculaire », « Trouver l'équation de la ligne qui est perpendiculaire à la ligne 3x + 4y = 17 et qui contient le point (2,8) » Nous savons que la réponse devra ressembler à 4x + # 150; 3y = D où nous avons changé la position du « A » et coefficients « B », et nous avons changé le signe d'un d'entre eux. De plus, nous savons que le point (2,8) devra faire de cette nouvelle équation vraie, donc 4 (2) + # 150; 3 (8) = D8 + # 150; 24 = D # 150; 16 = D Par conséquent, la réponse est la forme standard équation linéaire 4x + # 150; 3y = # 150; 16

« Trouver l'équation de la ligne qui est perpendiculaire à la ligne 2x + # 150; 5Y = # 150; 19 et qui contient le point (4, # 150; 7). » La réponse doit regarder la ligne 5x + 2y = D on inverse juste les positions du « A » et « B » des valeurs et on inverse le signe d'un d'entre eux, et (4, # 150; 7) doit le rendre vrai. Par conséquent, 5 (4) + 2 ( # 150; 7) = D 20 + # 150; 14 = D6 = D et qui nous donne la solution 5x + 4y = 6

De la présentation ci-dessus, nous pouvons voir que nous pouvons faire les « habituels » des problèmes de lignes parallèles et perpendiculaires en quelques étapes sans jamais trouver la pente de la ligne originale et sans utiliser la forme de point pente d'une équation linéaire.

Pour être complet, nous devons vérifier nos méthodes avec des lignes horizontales et verticales. La forme standard pour une ligne horizontale est 0x + 1y = C. Une autre ligne horizontale, une parallèle à la première, va encore avoir la forme 0x + 1y = D. Par conséquent, notre règle pour trouver des lignes parallèles sera toujours. Nous laissons juste le « A » et « B » valeurs même et de trouver une nouvelle valeur pour « D » en remplaçant les coordonnées du point externe.

La forme standard pour une ligne verticale est 1x + 0y = C. Une autre ligne verticale, une parallèle à la première, va encore avoir la forme 1x + 0y = D. Par conséquent, notre règle pour trouver des lignes parallèles sera toujours. Nous laissons juste le « A » et « B » valeurs même et de trouver une nouvelle valeur pour « D » en remplaçant les coordonnées du point externe.

Si nous commençons par une ligne horizontale sous la forme 0x + 1y = C, et on inverse les « A » et les valeurs « B », et inverser le signe d'un d'entre eux, nous obtenons 1x + 0y = D, qui est le général sous forme d'une ligne verticale. Cela correspond à notre méthode pour trouver des lignes perpendiculaires.

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