PA factorisation LU avec Pivotant
PA = factorisation LU avec Pivotant
Définition (LU-factorisation). La matrice inversible A a une factorisation LU-si elle peut être exprimée comme le produit d'une matrice triangulaire inférieure L et un U triangulaire supérieure de la matrice
Théorème (LU factorisation withNOpivoting). Si les échangeurs de ligne ne sont pas nécessaires pour résoudre le système linéaire AX = B, alors A a la factorisation LU (illustré avec 4 × 4 matrices).
ProofLU FactorizationLU factorisation
Mathematica Subroutine (Limited élimination de Gauss-Jordan).
Ordinateur ProgramsLU FactorizationLU factorisation
Mathematica Subroutine (landu).
Exemple 1. Etant donné. Trouver des matrices L et U de sorte que LU = A.
Solution 1.
Exemple 2. Etant donné. Trouver des matrices L et U de sorte que LU = A.
Solution 2.
Théorème (A = LU, factorisation withNOPivoting). Supposons que A a une Doolittle, Crout ou factorisation de Cholesky. La solution X au système linéaire, se trouve en trois étapes:
1. Construire les matrices, si possible.
2. Résoudre pour utiliser la substitution de l'avant.
3. Résoudre pour utiliser la substitution de retour.
ProofLU FactorizationLU factorisation
Le théorème ci-dessus suppose qu'il n'y a pas de correspondance de lignes. Nous avons vu dans l'exemple 3 ne pouvait pas être pris directement un exemple d'une matrice inversible A comme A = LU. Si les échanges de ligne sont autorisés alors une factorisation d'une « matrice permuté » sera obtenue. Une permutation des n premiers entiers positifs. est un arrangement de ces nombres entiers dans un ordre déterminé. Par exemple, est une permutation des cinq entiers. Les vecteurs de base standard sont utilisés pour la définition suivante.
Définition (Permutation Matrix). Une matrice n × n de permutation P est une matrice avec précision une entrée dont la valeur est « 1 » dans chaque colonne et rangée, et dont toutes les autres entrées sont « 0 » Les lignes de P sont une permutation des lignes de la matrice d'identité et P peut être écrit
Les éléments ont la forme de
Théorème. On suppose qu'il est une matrice de permutation. Le produit PA est une nouvelle matrice dont les lignes se compose de lignes de A réarrangés dans le nouvel ordre.
Par exemple, la matrice de permutation va échanger des lignes 1 et 2 et également échanger des lignes 3 et 4.
Théorème. Si A est une matrice inversible, alors il existe une matrice de permutation P de telle sorte que PA a une LU-factorisation
Théorème (PA = LU, factorisation avec Pivotant). Étant donné que A est inversible. La solution X au système linéaire, se trouve en quatre étapes:
1. Construire les matrices.
2. Calculer le vecteur de colonne.
3. Résoudre pour utiliser la substitution de l'avant.
4. Résoudre pour utiliser la substitution de retour.
ProofLU FactorizationLU factorisation
Ordinateur ProgramsLU FactorizationLU factorisation
Ceci est la deuxième version de LUfactor et il utilise plus de boucles et de la programmation traditionnelle.
Mathematica Subroutine (LUfactor).
Utilisez le sous-programme SolveLU qui est similaire à la substitution de l'avant et de substitution de retour des sous-routines.
Mathematica Subroutine (SolveLU).
Exemple 4. Utilisation PA = LU factoriser pivotant pour résoudre le système linéaire.
Solution 4.
Exemple 5. Utilisation PA = LU factoriser pivotant pour résoudre le système linéaire.
Solution 5.
Application à montage polynomiale Curve
Théorème (moindres carrés polynomiale courbe de montage). Compte tenu des points de données, des moindres carrés polynôme de degré m du formulaire
qui se monte sur les points de données de n est obtenue en résolvant le système linéaire suivant
pour les m + 1 coefficients. Ces équations sont appelées les « équations normales ».
ProofLeast carrés PolynomialsLeast carrés Polynomials
Exemple 6. Trouvez la « moins carrés parabola » que pour les quatre points de données.
Solution 6.
Exemple 7. Trouver les « moindres carrés cubes » pour que les quatre points de données.
Solution 7.
Exemple 8. Considérons le système linéaire AC = B dans l'exemple 7, à savoir.
Remplacer l'élément dans la matrice avec A et de résoudre le nouveau système AC = B.
Solution 8.
Old Lab Project (LU FactorizationLU factorisation). hyperliens Internet à un ancien projet de laboratoire.
Expérience de recherche pour les étudiants
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