Résoudre des équations linéaires - Un cours complet en algèbre
A N EQUATION est une déclaration algébrique où le verbe est « égal à » =. Une équation implique un nombre inconnu, généralement appelé x. Voici un exemple simple:
"Certains nombre, plus 4, est égal à 10."
Nous disons qu'une équation a deux côtés. le côté gauche, x + 4, et le côté droit, 10.
Parce que x semble la première puissance. nous appelons cela une équation linéaire. Une équation linéaire est également appelée une équation du premier degré.
Le degré d'une équation est le plus élevé exposant qui apparaît sur le nombre inconnu. Une équation du premier degré est appelé linéaire parce que, comme nous le verrons plus tard, son graphique est une ligne droite.
L'équation - cette déclaration - deviendra vrai que lorsque l'inconnu a une certaine valeur. que nous appelons la solution à l'équation.
La solution de cette équation est évidemment 6:
6 est la seule valeur de x pour laquelle la mention « x + 4 = 10 » sera vrai. Nous disons que x = 6 vérifie l'équation.
Maintenant, l'algèbre dépend de la façon dont les choses sont. En ce qui concerne la façon dont les choses sont, alors, nous saurons que nous avons résolu une équation quand nous avons isolé x à gauche.
Pourquoi la gauche? Parce que ce que nous lisons, de gauche à droite. "X est égal à."
Dans la forme classique d'une équation linéaire - ax + b = 0 - x apparaît sur la gauche.
En fait, nous sommes sur le point de voir que, pour une équation qui ressemble à ceci:
La loi de la réciproque
Il y a deux paires d'opérations inverses. L'addition et la soustraction, la multiplication et la division.
Officiellement. pour résoudre une équation que nous devons isoler l'inconnu. qui est typiquement x. sur un côté de l'équation.
Nous devons obtenir, b. c de l'autre côté, de sorte que x est seul.
La question est:
Comment pouvons-nous déplaçons un certain nombre d'un côté d'une équation
à l'autre?
En écrivant sur l'autre côté avec l'opération inverse.
Telle est la loi de la réciproque. Il résulte des deux règles de la leçon 6.
Il est conforme à la relation arithmétique entre l'addition et la soustraction:
10-6 = 4 implique 10 = 4 + 6;
Dans tous les cas, un a été déplacé vers l'autre côté au moyen de l'opération inverse. Il sera possible de résoudre une équation linéaire en appliquant une ou plusieurs de ces règles ..
Lorsque les opérations sont addition ou soustraction (formulaires 1 et 2), nous appelons que la transposition.
+ un va à l'autre côté - a.
- un va à l'autre côté + a.
Est l'une des transpositeur les opérations de l'algèbre les plus caractéristiques, et il est considéré comme le sens de l'algèbre de mot. qui est d'origine arabe. (Mathématiciens arabes ont appris l'algèbre en Inde, d'où ils l'ont introduit en Europe.) Transposer est la technique de ceux qui utilisent effectivement l'algèbre en sciences et en mathématiques - parce qu'il est habile. Et comme nous allons le voir, il maintient la séquence claire, logique des déclarations. De plus, il souligne que l'algèbre vous faites avec vos yeux. Quand tu vois
alors vous voyez immédiatement que + GOES de l'autre côté comme -a:
Tout d'abord, vous ne verrez jamais que dans aucun texte de calcul.
Et après avoir observé les résultats d'un nombre suffisant de fois, l'étudiant verra que l'effet est de transposer + un à l'autre côté -a. (Leçon 6) Par conséquent, l'étudiant doit simplement apprendre à transposer!
parce que nous avons soustrait un des deux côtés - bien. Il ne devrait pas être nécessaire d'écrire réellement -a des deux côtés.
Une séquence logique des états
Dans une phrase algébrique, le verbe est généralement le signe égal =.
Cette phrase - cette déclaration - impliquera logiquement d'autres déclarations. Suivons la séquence logique qui conduit à la déclaration finale, qui est la solution.
L'équation d'origine (1) est « transformée » par un premier transposant les termes (leçon 1). Déclaration (1) implique la déclaration (2).
Cette déclaration est ensuite transformé en divisant par un. Déclaration (2) implique la déclaration (3), qui est la solution.
Ainsi, nous résolvons une équation en la transformant - changer de forme - instruction par instruction, ligne par ligne selon les règles de l'algèbre, jusqu'à ce que x est finalement isolé sur la gauche. C'est ainsi des livres sur les mathématiques sont écrits (mais malheureusement pas de livres qui enseignent l'algèbre!). Chaque ligne est sa propre déclaration lisible qui découle de la ligne ci-dessus - sans ratures.
En d'autres termes, Qu'est-ce qu'un calcul? Il est une transformation discrète de symboles. En arithmétique, nous transformons « 19 + 5 » dans « 24 ». En algèbre nous transformons "x + a = b" en "x = b - a."
Problème 1. Écrivez la séquence logique des déclarations qui vont résoudre cette équation pour x:
Pour voir la réponse, passez votre souris de gauche à droite
sur la zone colorée.
Pour couvrir la réponse à nouveau, cliquez sur « Actualiser » ( « Recharger »).
Faites le problème vous-même d'abord!
Tout d'abord, transposer les termes. Ligne 2).
Il ne faut pas écrire le terme 0 à droite.
Ensuite, diviser par le coefficient de x.
Problème 2. Écrivez la séquence logique des déclarations qui vont résoudre cette équation pour x:
Problème 5. Résoudre pour x. 2x + 1 = 0
Cette équation, soit dit en passant, est sous la forme standard. à savoir ax + b = 0.
Chacun de ces problèmes Illustre faire l'algèbre avec vos yeux. L'étudiant doit voir immédiatement la solution. Dans l'exemple ci-dessus, vous devriez voir que b ira à l'autre côté -b. et que divisera.
C'est des compétences en algèbre.
Maintenant, lorsque le produit de deux nombres est égal à 0, alors au moins l'un d'entre eux doit être 0. (leçon 5) Par conséquent, toute équation de cette forme a la solution,
Nous pourrions résoudre ce formellement, bien sûr, en divisant par un.
Problème 8. Résoudre pour x.
Problème 9. Écrivez la séquence des états qui résoudra cette équation:
Quand on passe de la ligne (1) à la ligne (2), -x reste à gauche. En effet, les termes de ligne (1) sont 6 et -x.
Nous avons « résolu » l'équation quand nous avons isolé x - non -x - à gauche. Par conséquent, nous allons de la ligne (3) à la ligne (4) en changeant les signes des deux côtés. (Leçon 6.)
Sinon, nous aurions pu éliminer -x à gauche en changeant tous les signes immédiatement:
-9 + 6 = -3.
Problème 10. Résoudre pour x.
Problème 11. Résoudre pour x:
4 - (2x - 1)
-11 à 5
Problème 12. Résoudre pour x:
Contre les côtés échange de transposition
On peut facilement résoudre ce - en une seule ligne - simplement en transposant x à gauche, et ce qui est à gauche, à droite:
Dans cet exemple, + x est à droite. Puisque nous voulons + x à gauche, nous pouvons y parvenir en échange côtés:
Remarque: lorsque nous échangeons des côtés, aucun signe changement.
Lors de la transposition c. la solution suit facilement:
Problème 13. Résoudre pour x: