Valeur initiale Problèmes pour la croissance et décroissance
Exemple 1: Croissance de la population illimitée
Le nombre de bactéries dans une culture liquide est observée à croître à une vitesse proportionnelle au nombre de cellules présentes. Au début de l'expérience, il y a 10.000 cellules et au bout de trois heures, il y a 500 000. Combien seront-être après un jour de croissance si cette croissance continue illimitée? Quel est le temps de doublement des bactéries?
= Temps écoulé depuis le début de l'expérience (en heures).
= Le nombre de cellules au temps t.
Le taux de variation du nombre de cellules, à savoir le taux de croissance est tout simplement. de telle sorte que l'affirmation selon laquelle le taux de croissance est proportionnelle au nombre de cellules signifie simplement que:
Nous savons que des travaux antérieurs que cette équation différentielle a la solution
et maintenant notre tâche est de mettre en valeurs des constantes.
Il est facile de mettre en. puisque cette valeur est connue. Ainsi
Pour trouver, nous devons faire un peu plus de travail. Nous pouvons utiliser le fait que, après trois heures, il y a 500.000 cellules ainsi, brancher pour t, nous avons
Annulation d'un facteur de 10 000 et écrire l'exposant d'une manière plus ordonnée, cela implique que
Nous pouvons utiliser cette relation pour trouver la valeur de la petite norme suivante « truc ». Se souvenant que le logarithme naturel est l'inverse de la fonction exponentielle, nous prenons le logarithme naturel des deux côtés, obtenir:
Ainsi, après avoir trouvé le débit constant,. nous constatons que la solution à l'équation différentielle qui statisfies également la valeur initiale est la fonction.
Le graphique de cette fonction est indiqué ci-dessus. Les unités sur l'axe des ordonnées correspondent à des multiples de 1 000.
Nous pouvons maintenant prédire combien de bactéries, il y aura après 1 jour. (Ce ne figure pas sur le graphique, car il serait bien s'écailler!) Se souvenir de convertir en unités de temps cohérentes, à savoir heures, on calcule que, après 1 jour (24 heures) de cette croissance exponentielle illimitée le nombre total de cellules devraient être:
Temps Doubler: La quantité de temps qu'il faut pour une population donnée à doubler la taille.
(Remarque: Andromeda Strain, les bactéries double toutes les vingt minutes, nous avons utilisé ce fait pour déterminer comment des bactéries se développeraient Ici, nous ne nous donne pas du temps de doublement directement, mais nous pouvons calculer de l'autre information donnée dans le problème.. , comme indiqué ci-dessous.)
Nous allons reporter au temps de doublement par le symbole. (Ceci est la lettre grecque tau. Mathématiciens ont une affection particulière pour l'alphabet grec, ce qui est très pratique lorsque l'alphabet romain court de lettres pratiques à utiliser.)
Depuis est le temps qu'il faut pour une population double, la taille de la population est deux fois sa taille à. c'est à dire. . Alors,
Nous pouvons maintenant trouver la valeur en résolvant
Annulation d'un facteur de 10 000, en logarithmes naturels comme avant, et de simplifier le résultat conduit à:
Dans le problème que nous examinons, de sorte que
Ainsi, le temps de doublement de ce problème est 0.533 heures, ce qui est à peu près 32 minutes. Ces bactéries se développent un peu plus lentement que la souche d'Andromède.
= Temps.
= Masse de l'isotope radioactif.
La masse de l'isotope radioactif est toujours un nombre positif, mais, avec le temps, il sera plus en plus petits que de plus en plus de la substance est transformé en matériau stable, non radioactif.
En utilisant le fait que le taux de variation de la masse de l'isotope radioactif est proportionnelle à sa masse au moment donné, nous écrivons
Par le travail précédent. nous savons que la solution à cette équation différentielle est
Notez que lorsque 0 $ « >. L'exposant dans cette fonction sera négative. Par conséquent, nous devons nous familiariser avec les fonctions du formulaire ci-dessus pour les exposants négatifs. Quelques membres de cette famille de fonctions (pour différentes valeurs de la constante sont indiqué ci-dessous:
Pour votre considération:
Avec cette préparation, nous sommes prêts à détourner l'attention pour résoudre le problème que vous avez choisi:
Le carbone 14 est un isotope radioactif du carbone qui a une demi-vie de 5600 ans. Il est largement utilisé dans la datation matière organique qui est des dizaines de milliers d'années. Quelle fraction du montant initial du carbone-14 dans un échantillon serait présent après 10.000 ans?
Si nous utilisons le symbole pour désigner la demi-vie d'un processus, et de représenter la quantité d'une substance initialement présente alors
Annulation d'un facteur. on a
Nous pouvons prendre les deux côtés inverses des membres de cette équation pour l'obtenir sous une forme plus familière:
Nous sommes de retour à une relation que nous avons déjà résolu lorsque nous étudier le temps de doublement d'un processus de croissance (voir l'exemple 1 sur cette page). En prenant le logarithme naturel des deux côtés, nous constatons que
Donc, nous concluons que la moitié vie et la constante de vitesse sont liés de la même manière que précédemment:
Dans cet exemple nous donne la demi-vie, des années, et nous devons trouver la constante k de celui-ci:
Ainsi, la solution que nous recherchons est:
Après 10.000 ans, la fraction du montant initial qui sera laissé se trouve en remplaçant dans cette expression, et notant que
Ainsi, 30% de l'échantillon initial sera laissé.