Dice non transitif
Nous présentons un ensemble de dés très inhabituel, et un jeu à deux joueurs où vous aurez toujours l'avantage.
Vous pouvez même apprendre à votre adversaire comment le jeu fonctionne, mais encore gagner à nouveau!
Enfin, nous allons décrire un nouveau jeu pour trois joueurs où vous pouvez potentiellement battre les deux adversaires - en même temps!
Regarder James Grime et David Spiegelhalter démontrent dés non transitif dans la vidéo à droite et vers le bas pour lire plus de détails!
Voici un jeu que vous pouvez jouer avec un ami. Il est un jeu pour deux joueurs, avec un ensemble de trois dés. Ces dés ne sont pas typiques dés cependant, car au lieu d'avoir les valeurs 1 à 6, ils affichent différentes valeurs inhabituelles.
Chaque joueur choisit une filière. Les deux dés sont ensuite roulé ensemble et celui qui obtient la plus haute valeur gagne. Il semble assez juste encore, dans un jeu de dire dix rouleaux, vous serez toujours en mesure de choisir une filière avec une meilleure chance de gagner - quel que soit votre ami mourir choisit. Et vous pouvez faire ces dés à la maison en ce moment.
Voici l'ensemble des trois dés spéciaux:
Chaque filière a six faces, mais seulement deux valeurs, comme suit;
A: 3 3 3 3 3 6
B: 2 2 2 5 5 5
C: 1 4 4 4 4 4
On peut montrer (voir ci-dessous) à long terme mourir A bat B meurent, et que les battements meurent B meurent C. Il semble donc A est la matrice solide et C est la matrice faible. Alors vous pourriez attendre mourir A à battre mourir C;
Si tel est le cas, nous appelons la transitive de dés » parce que les transferts de propriété gagnants via la filière au milieu, meurent B. [1]
Cependant, ce n'est pas le cas. En fait, la propriété gagnante va dans un cercle - comme un jeu de `Rock, Paper, Scissors' - avec mourir Un passage à tabac meurent B, mourir battant B mourir C et mourir battre C die A. Il n'y est forte ou faible meurent, de sorte que les dés sont `non transitive. Comment se peut-il?
Faisons un exemple de calcul et montrent que, à long terme, mourir A a une meilleure chance de battre mourir B.
Remarquez, quand vous roulez A mourir il y a deux résultats possibles; soit vous obtenez un 3 ou 6. La probabilité d'obtenir un 3 est 5/6, alors que la probabilité d'obtenir un 6 est 6/1.
D'autre part, die B peut être soit un rouleau 2 ou 5, chacune avec une probabilité de 1/2. Donc, au total, si l'on jet de dé A et B mourir ensemble, nous avons quatre résultats possibles.
Je peux dessiner un diagramme d'arborescence de tous les résultats possibles. Vous trouverez la probabilité de chaque résultat en multipliant les probabilités le long du diagramme. Par exemple, la probabilité d'obtenir une 5 matrice avec A et une matrice 2 avec B est 6/5 x 1/2 = 5/12.
Si je veux trouver la probabilité que A gagne mourir ajouter les probabilités de tous les résultats où meurent Battements mourir B. Donc dans ce cas, la probabilité meurent Battements meurent B est 7/12 - surtout, ce qui est plus que 1/2.
En d'autres termes, la chaîne inverse de sorte que le cercle de la victoire devient un cercle de la défaite. Maintenant, meurent Battements meurent C, meurent battements C meurent B, et meurent bat B meurent A. Ce qui vous permet de gagner le jeu à nouveau!
La probabilité de gagner en moyenne avec deux dés est d'environ 57% [4]. Un mot d'avertissement cependant; bien que la probabilité que mourir battements die C est supérieur à 1/2, il est une victoire mince. À court terme, disons moins de 20 rouleaux, l'effet est plus proche de 50-50, donc vous aurez toujours besoin d'un peu de chance de votre côté!
Cette fois, les dés utiliser les valeurs 0 à 6. Chaque matrice a des valeurs:
A: 3 3 3 3 3 3
B: 2 2 2 2 6 6
C: 1 1 1 5 5 5
D: 0 0 4 4 4 4
Comme précédemment, les dés forment un cercle où mourir battements meurent B, meurent battements B C meurent, meurent battements C D meurent et meurent battements D meurent A, et ils font chacun avec une probabilité de 2/3. Efron dés sont optimales, en ce sens que la probabilité la plus faible de gain atteint la limite supérieure théorique.
Nous avons aussi deux paires de dés opposés les uns des autres sur le cercle. En fait mourir bat B meurent D, mais mourir A et mourir C ont chacun une chance de gagner 50-50, avec ni mourir dominant [6].
Mais il y a toujours la question de savoir si vous pouvez battre vos deux adversaires en même temps.
Si les dés étaient dés réguliers juste, avec deux dés concurrents ayant une chance 50-50 de la victoire (en ignorant tire), puis la chance de battre deux adversaires en même temps se tiendrait à un peu plus de 25%. Il est pas exactement 25% parce que battre un joueur n'est pas indépendant de battre l'autre joueur - quand vous roulez un grand nombre, vous êtes susceptible de battre les deux!
Cependant, ces dés ne sont pas justes. Même si vous avez l'avantage contre les deux adversaires, en battant les deux joueurs est toujours un défi, avec la probabilité de faire debout si environ 39%.
Cet ensemble de sept dés forment un graphe orienté complet. De la même façon, un jeu à quatre joueurs, il faudrait 19 dés. On ne sait pas si un tel ensemble existe.
Cependant, s'il est possible de construire un jeu de dés non transitif avec une propriété de recul, alors il pourrait être possible d'avoir un jeu à trois joueurs avec moins de sept dés. Et potentiellement un tel ensemble pourrait améliorer nos chances de battre deux joueurs en même temps. Je l'ai mis au point un tel ensemble ci-dessous.
Voici un ensemble de cinq dés non transitif:
Ces matrices utilisent des valeurs de 0 à 9, comme suit;
A: 4 4 4 4 4 9
B: 3 3 3 3 8 8
C: 2 2 2 7 7 7
D: 1 1 6 6 6 6
E: 0 5 5 5 5 5
Cet ensemble de cinq dés est similaire à d'autres jeux de dés que nous avons vu, dans ce que nous avons une chaîne où A> B> C> D> E> A.
Cependant, dans ce que nous avons maintenant une deuxième chaîne, où A> C> E> B> D> A.
La probabilité de gain moyen pour une matrice est de 63% [10].
Si notre jeu original de trois dés non transitifs était comme un jeu de `Rock, papier, ciseaux, ce schéma est plus proche de l'apparenté, mais plus extrême, jeu non-transitif` Roche, papier, ciseaux, lézard, Spock » [11].
Avec deux dés la première chaîne reste la même. Mais la seconde chaîne retourne maintenant si A> D> B> E> C> A.
La probabilité de gain moyenne pour les deux dés est de 59% [12].
J'ajoute une mise en garde: bien qu'il soit souhaitable que E> A avec deux dés, à court terme (disons moins de 20 rouleaux), l'effet est plus proche de 50-50, avec ni mourir dominant. Dans tous les autres cas, votre choix de mourir vous donnera un avantage en bonne santé sur vos deux adversaires.
Par exemple, si un adversaire choisit de mourir B et l'autre adversaire choisit de mourir C, alors vous devriez choisir de mourir A et jouer une version die du jeu. Puis, selon le premier schéma ci-dessus, vous aurez une meilleure chance de battre chaque adversaire.
D'autre part, si l'on choisit l'adversaire mourir C et l'autre adversaire choisit de mourir E, alors vous devriez choisir mourir B et jouer les deux dés la version du jeu. Ensuite, selon le deuxième schéma ci-dessus, vous pouvez vous attendre à battre chaque adversaire à nouveau.
Un jeu de jeu
Mais, pouvons-nous espérer battre les deux autres joueurs en même temps? Eh bien, nous avons certainement amélioré les chances, avec la probabilité moyenne de battre les deux adversaires maintenant debout environ 44% - une amélioration de 5% par rapport à Oskar Dice, et une amélioration de 19% par rapport à la juste dés! [13] Ainsi, si les chances de battre deux joueurs ne sont pas plus de 50% alors comment pouvons-nous gagner? Considérez le jeu de jeu suivant:
Si les dés étaient juste alors chaque joueur attendre à gagner zéro - chaque joueur gagne la moitié du temps et perd la moitié du temps.
Cependant, avec Oskar Dice, vous devriez vous attendre à battre les deux joueurs 39% du temps, et de perdre à la fois les joueurs 28% du temps, ce qui vous donnera un bénéfice net de 22 £.
Mais encore mieux, avec Grime dés, vous devriez vous attendre à battre les deux joueurs 43,8% du temps, mais seulement perdre à la fois les joueurs 22,7% du temps, vous donnant un bénéfice net moyen proche de 42 £! (Et peut-être la perte de deux anciens amis).
Cet ensemble est le meilleur ensemble de cinq dés non transitif avec ces propriétés que j'ai trouvé.
Par exemple, les matrices A, C et E forment un sous-ensemble non-transitive de trois dés. En fait, ceci est juste une copie de Rowlett dés avec des numéros différents. Ce sous-ensemble a également la propriété de renverser Rowlett dés, et la victoire mince dans les deux version jeu de dés Rowlett explique la défaite mince affichée dans les deux version jeu de dés Grime. Ce sous-ensemble est optimal en ce sens que la probabilité la plus faible de gain atteint sa limite théorique supérieure, avec une probabilité de gain moyen de 62%.
Tout sous-ensemble de quatre dés Crasse faire une chaîne non transitive, avec les sous-ensembles A, B, C et E et A, C, D, E ayant tous deux une probabilité de gain moyenne de 2/3. Cependant, ces sous-ensembles ne sont pas des copies de dés Efron et ne sont pas optimales, bien qu'ils aient la même probabilité de gagner en moyenne comme Efron dés.
Je vous invite à essayer ces jeux vous-même [14]. Ils sont faciles à faire soit par écrit sur les dés blancs, ou de modifier certains vieux dés. Ils sont également peu coûteux à acheter et vous pouvez obtenir l'ensemble des trois Rowett dés et l'ensemble des quatre Efron dés de Grand Illusions.
Essayez-les sur vos amis et profitez de vos succès et les échecs!
[1] D'autres exemples de transitivité: Si a, b et c sont des nombres réels alors si a> b et b> c, nous savons a> c. Par exemple, si 9> 4.6 et 4.6> 5/3 puis 9> 5/3.
Si a, b et c sont des nombres entiers tels que b divise stictly (sans suite) et b divise strictement c, nous savons strictement c divise. Par exemple, si 3 | 15 et 15 | 60 puis 3 | 60.
Les deux dernières relations sont transitive. D'autre part, si a, b et c sont des nombres entiers tels que a + b> 7 et b + c> 7, on ne peut pas en déduire que + c> 7. Cette relation est pas transitive.
[2] En plein les probabilités sont les suivantes: P (A> B) = 7/12, P (B> C) = 12/07 et P (C> A) = 25/36.
[4] Cette fois, les probabilités sont complètes: P (A> C) = 671/1296 (une victoire mince!), P (C> B) = 85/144 et P (B> A) = 85/144.
[6] Efron dés: P (A> B) = 2/3, P (B> C) = 3.2, P (C> D) = 3.2, P (D> A) = 2/3, P (A> C) = 1/2 et P (B> D) = 5/9
[7] Les probabilités pour deux jeux de dés sont Efron: P (A> D) = 9.5, P (B> A) = 5/9, P (B> C) = 9.5, P (C> D) = 9.5, P (B> D) = 27.11, P (D> B) = 0, P (B = D) = 16/27 (un nul), P (a> C) = 1 / 4, P (C> A) = 1/4, P (A = C) = 1/2. Il n'y a pas de chaîne comme avant.
[10] Grime dés, une version matrice: P (A> B) = 13/18, P (B> C) = 3.2, P (C> D) = 3.2, P (D> E) = 13/18, P (E> A) = 25/36; P (A> C) = 12.07, P (B> D) = 9.5, P (C> E) = 12.07, P (D> A) = 5/9, P (E> B) = 5/9.
[12] Grime dés, dés deux versions: P (A> B) = 7/12, P (B> C) = 9.5, P (C> D) = 9.5, P (D> E) = 12.07, P (E> A) = 625/1296 (*); P (A> D) = 56/81, P (B> E) = 56/81, P (C> A) = 85/144, P (D> B) = 16/27, P (E> C) = 85/144.
(*) Ceci est une défaite mince! Cependant, quand arrondi au nombre entier le plus proche, le nombre attendu de victoires est le même que 50% pour quoi que ce soit moins de 28 essais. En outre, 95% du temps, nous prévoyons que le nombre de victoires à être plus / moins deux écarts-types de la moyenne. Lorsque nous prenons en compte, l'effet est peu différent de 50%.
[14] Pour le très vif, voici un ensemble pour essayer qui utilise des constantes mathématiques: A: 1 1 1 1 1 # 960; B: # 934 # 934 # 934 e e e; C: 0 # 966 # 966 # 966 # 966 # 966; où e est le nombre d'Euler, # 966 est le ratio d'or et # 934 est le Conjugué Golden Ratio. Est-ce que ces dés forment un ensemble non transitive? Qu'en est-il avec deux dés, ne l'ordre inverse comme avant?