Différence de cubes - Centrale des maths
Une différence de cubes est bien sûr un cube parfait moins un cube parfait.
Je suppose que votre élève a déjà la formule
un 3 - b 3 = (ab) (a 2 + ab + b 2)
Nous pouvons le prouver en utilisant division polynomiale.
Tout d'abord, nous regardons les racines d'un 3 - b 3 et immédiatement, nous pouvons voir que si a = b, puis un 3 - 3 b = 0, donc (a-b) est un facteur.
Ensuite, réécrire: a 3 - b 3 = 3 + 0a 2 b + 0AB 2 - 3 b et utiliser la division synthétique (ou long) pour trouver l'autre facteur. Je vais utiliser la longue division:
Vous pourriez faire quelque chose de très similaire pour une somme de cubes.
Cependant, il existe un moyen géométrique de voir cela aussi, au moins où a et b sont positifs et a> b:
Par exemple, disons a = 4 et b = 2. Voici 3 avril au 3 février.
et est ici 3 mars à 3 février.
Prenons à part 3 mars à 3 février en premier. L'objet rouge est cassé dans les autres couleurs:
Ainsi, l'objet rouge est composé de la pièce orange qui est 3 2 plus la pièce jaune qui est 3x2 et la pièce d'or qui est 2 2. Ainsi, le 3 original 3 - 1 3 égale les composants 3 2 + 3x2 + 2 2. Maintenant depuis (3-2) = 1, on peut multiplier par cela et ne pas changer quoi que ce soit, nous avons donc montré
3 3 - 2 3 = (2/3) (3 2 + 3x2 + 2 2)
Mais qu'en est-essayer quelque chose de plus dur, comme 3 mai à 3 février?
Nous avons la même répartition, mais il y a 3 copies de tout! Cela est logique parce que (5-2) = 3.
Nous avons donc montré que
3 mai au 3 février = (2/5) (5 2 + 5x2 + 2 2)
tout comme la formule prévue et notre longue division a prouvé algébriquement.
Si vous regardez attentivement le dernier schéma, vous pouvez le considérer comme un 3 - b 3 et montrent que le nombre de copies est toujours (a-b), prouvant ainsi le cas général.
Je vous encourage à explorer votre étudiant ainsi la somme des cubes et voir si elle peut trouver une solution similaire algébrique et géométrique.
À votre santé,
Stephen La Rocque.