La preuve par Épuisement (cas par cas)
La preuve par Épuisement (cas par cas)
Parfois, le plus en avant droit, sinon le plus élégant, façon de construire une preuve est en vérifiant cas.
Exemple: divisibilité
Théorème. Si n est un entier positif alors n 7 - n est divisible par 7.
Preuve. Nous avons d'abord facteur N 7 - n = n (n 6 - 1) = n (n 3 - 1) (n 3 + 1) = n (n-1) (n 2 + n + 1) (n + 1) ( n 2 - n + 1). Maintenant il y a 7 cas à prendre en compte, en fonction de n = 7 q + r où r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Cas 1: n = 7q. Alors n 7 - n a le facteur n, qui est divisible par 7.
Cas n ° 2: n = 7q + 1. Puis n 7 - n a le facteur n-1 = 7q.
Cas n ° 3: n = 7q + 2. Ensuite, le facteur n + 2 n + 1 = (7q + 2) 2 + (7q + 2) + 1 = 49 q 2 + 35 q + 7 est clairement divisible par 7.
Cas 4: n = 7q + 3. Ensuite, le facteur n 2 - n + 1 = (7q + 3) 2 - (7q + 3) + 1 = q 2 + 49 35 + 7 q est clairement divisible par 7.
Cas 5: n = 7q + 4. Ensuite, le facteur n 2 + n + 1 = (7q + 4) 2 + (7q + 4) + 1 = 49 q 2 + 63 + 21 q est clairement divisible par 7.
Cas 6: n = 7q + 5. Ensuite, le facteur n 2 - n + 1 = (7q + 5) 2 - (7q + 5) + 1 = 49 q 2 + 63 + 21 q est clairement divisible par 7.
Cas n ° 7: n = 7q + 6. Ensuite, le facteur n + 1 = 7 7q est clairement divisible par 7.
Prouver chacun des éléments suivants en utilisant une analyse au cas par cas.