Prendre des dérivés et Différenciation, Ressources WyzAnt
La différenciation est la méthode algébrique de trouver la dérivée d'une fonction en un point quelconque. Le dérivé est un concept qui est à la base du calcul. Il y a deux façons d'introduire ce concept, la façon géométrique (comme la pente d'une courbe), et de la manière physique (en tant que taux de changement). La pente d'une courbe se traduit par le taux de changement quand on regarde les applications de la vie réelle. Quoi qu'il en soit, à la fois la pente et le taux de variation instantané sont équivalentes, et la fonction de trouver les deux en tout point est appelé le dérivé.
Le concept du dérivé Géométrique
Si vous avez déjà trouvé la pente d'une ligne sur un graphique, qui est le dérivé. Lorsque nous regardons les courbes au lieu des graphiques linéaires, il devient difficile de trouver la pente à chaque point, car la pente est en constante évolution. Une façon de trouver la pente est de zoomer sur le graphique à un point et trouver la pente à ce moment-là.
Une manière de trouver la pente est montée à l'aide du procédé au cours de l'exécution, ou la formule de la pente:
La façon d'obtenir une pente meilleure approximation, ou un dérivé, est de faire les deux valeurs de x aussi près que possible. Ceci est un processus fastidieux quand vous voulez trouver la pente pour de nombreux points sur le graphique. C'est là la différenciation entre en jeu. La définition d'un dérivé vient de prendre la limite de la formule de pente comme les deux points sur une fonction se rapprocher et se rapprocher.
Par exemple, disons que nous avons un point P (x, f (x)) sur une courbe et nous voulons trouver la pente (ou dérivé) à ce moment-là. On peut prendre un point quelque part près de P sur la courbe, par exemple Q (x + h, f (x + h)). où h est une petite valeur. Maintenant, nous pouvons brancher ces valeurs dans la formule de la pente:
La résolution de cela nous obtenir une approximation de la pente, mais il ne peut toujours pas nous obtenir une valeur exacte. Nous voulons h soit aussi faible que possible afin que nous puissions la pente P, donc nous laissons approche h 0.
Définition limite pour le dérivé
Ceci est la pente de la ligne tangente, ou un dérivé au point P. Cela nous donne le taux instantané de variation de y par rapport à x.
Faisons un exemple. Considérons la fonction:
Ensuite, nous substituons x + h pour x
En prenant la limite, nous obtiendrions
Maintenant, nous simplifions
Factoriser un h
On peut voir que h passe à 0, on se retrouve avec 6x + 2.
Cette expression linéaire 6x + 2 est la dérivée de la fonction, et on peut trouver la pente de la tangente en tout point de la courbe en branchant la valeur x de la coordonnée.
Dans le graphique ci-dessous, la fonction d'origine est rouge et le dérivé est vert.
Notez que lorsque la pente de la parabole est négative, la fonction de la dérivée est inférieure à zéro, et lorsque la pente de la parabole est positive, de même que la fonction de la dérivée. Lorsque la parabole trempe et la pente passe de négatif à positif, la fonction de la dérivée passe de négative à positive. On voit que, à f (-1), f '(- 1) = -4, de sorte que la pente de -1 est -4. De même, à f (0), f '(0) = 2, de sorte que la pente à 0 est égal à 2.
Bien que nous l'avons vu la forme du dérivé à l'aide de la limite, il peut également être notée comme dy / dx, f « (x), ou y »
Différentes notations pour le dérivé
d / dx signifie que nous prenons la dérivée par rapport à x.
f '(x) représente la dérivée de f (x) et y' désigne la dérivée de y.
En prenant la dérivée de Polynomials
Trouver le dérivé de certaines fonctions est plus dur que d'autres, et peut être un processus fastidieux pour l'utilisation de la formule de la pente. Heureusement, il existe un moyen plus facile d'obtenir le dérivé de polynômes sans utiliser limites. Newton et Leibniz ont découvert un moyen facile de trouver la dérivée de fonctions plus dures qui ne prend que quelques pas. Regardons un exemple:
La première étape pour trouver le dérivé est de prendre les exposant à la fonction et ramener, en le multipliant fois le coefficient.
Nous apportons le 2 du haut et le multiplier par 2 devant le x. Ensuite, nous réduisons l'exposant par 1. Le dérivé final de ce terme est 2 * (2) x 1. ou 4x.
Pour le second terme, l'exposant est supposé être de 1, donc nous amener vers le bas et le multiplier par le coefficient devant le x. Ensuite, nous réduisons l'exposant par 1, ce qui en fait 0. Le dérivé final de ce terme est 1 * (- 5) x 0. Notez que tout nombre élevé à la puissance 0e est 1, donc notre réponse simplifiée est 1 * (- 5) * 1 ou -5.
Le troisième terme est éliminé parce qu'il ne dispose pas d'un x, ce qui signifie qu'il est une constante. La raison en est que le numéro 3 peut être écrit 3x 0. et lorsque le 0 se résume toute la durée devient 0. Maintenant, nous nous retrouvons avec notre dérivé simplifié:
Notez que le dérivé est linéaire et la fonction d'origine est quadratique. Le dérivé sera toujours un degré inférieur à la fonction d'origine. Voici une règle générale de prendre la dérivée de tous les termes d'un polynôme où c est une constante:
Ceci est communément appelé la règle d'alimentation (voir la preuve de la règle de puissance).
Faisons un autre exemple graphique
Différentiables et non différentiables
Maintenant, vous devez être prudent lors de trouver la dérivée, car non toutes les fonctions a un. La plupart des fonctions sont différentiables, ce qui signifie qu'un dérivé existe à chaque point de la fonction. Cependant, certaines fonctions ne sont pas complètement différentiables.
Trouvons la dérivée de la fonction suivante à x = 0.
La limite h en approche 0 de la gauche est différent lorsque h 0 approche de la droite. Cela équivaut à dire la dérivée (ou pente) à gauche est -1, alors que le dérivé du côté droit est 1. Quelle est la pente où ils se rencontrent à l'origine?
En regardant le graphique, on voit qu'à l'origine il n'y a pas une pente définie parce qu'il ya plusieurs tangentes, donc il n'y a pas un dérivé à ce moment-là. Par conséquent, la fonction ne dispose pas d'un dérivé à x = 0, il est donc différentiables partout, sauf pour x = 0.
Il faut noter que pour une fonction différentiable, elle doit être continue.
Trouver la ligne Tangent
Plus tôt, nous avons trouvé la pente de la droite tangente à un point en utilisant la définition de la limite d'un dérivé. Faisons un exemple de trouver la ligne tangente à un point donné en utilisant la règle de puissance pour les polynômes.
Trouver l'équation de la droite tangente à la courbe de f (x) = x 2 + 3x à (1,4).
Nous trouvons le dérivé en utilisant la règle de puissance de différenciation
Branchez notre coordonnée x dans le dérivé pour obtenir notre pente
Maintenant, nous pouvons utiliser le formulaire de pente du point de trouver l'équation de la tangente. (1,4) est notre point et 5 est incliné notre
Le concept physique du dérivé
Isaac Newton a porté sur le concept physique de différenciation comme appliquée à la mécanique et taux de variation instantané. En ce qui a trait à la mécanique, le taux de variation est défini comme la vitesse ou la vitesse, quand nous parlons de la distance sur une période de temps. Tout comme l'approche géométrique, que vous visualiser en déplacement du point A au point B. Nous utilisons la formule de la pente pour trouver la vitesse moyenne:
Maintenant, si nous voulons trouver la vitesse instantanée, nous voulons que le changement dans le temps de plus en plus petits. Nous introduisons le concept d'une limite que le changement dans le temps approche 0. Nous nous retrouvons avec
Notez que ceci est exactement le même que la définition géométrique du dérivé, mais avec des variables différentes. La définition physique est basé sur la définition géométrique, et toutes les règles de dérivés appliquent à la fois. Alors que vous pouvez trouver la vitesse en prenant la dérivée, vous pouvez également trouver l'accélération en prenant la dérivée seconde, à savoir prendre le dérivé du dérivé.
Faisons un exemple.
Trouver la vitesse et l'accélération d'une particule avec la position donnée de s (t) = t 3 - 2t 2 - 4t + 5 à t = 2, où t est mesuré en secondes et s est mesurée en pieds.
La vitesse est trouvée en prenant la dérivée de la position.
A 2 secondes, la vitesse est de 0 pieds par seconde.
L'accélération est obtenue en prenant la dérivée de la fonction de vitesse, ou de la dérivée seconde de la position.
A 2 secondes, l'accélération est de 8 pieds par seconde au carré.
Analysons le graphique à partir d'un point de vue physique. La courbe noire est la position de l'objet. Notez que lorsque la courbe a une bosse, la fonction de vitesse frappe 0. image un objet passe à une certaine distance en ligne droite puis revenir - l'objet ne peut pas tourner autour sans la vitesse de repos à 0. Ceci est le même pour la accélération en ce qui concerne la fonction de vitesse. En outre, lorsque l'accélération est 0, le graphe de la fonction de position ressemble à une ligne droite autour de ce point. En effet, lorsque l'accélération est 0, la vitesse de l'objet reste la même, donc la pente sera constante.
Nous devons comprendre- la définition d'un dérivé comme une limite de deux points d'une fonction se infinitésimale à proximité
- la relation entre différentiabilité et la continuité
- comment les dérivés sont présentés sous forme graphique, numérique, et analytiquement
- la façon dont ils sont interprétés comme un taux de variation instantané.
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