Factorisation, exemples Prime factorisation
Factorisation est une méthode de réduction d'un nombre en facteurs premiers.
Factorisation est composé de deux mots premier et factorisation, dans lequel le premier implique tous les nombres premiers et factorisation implique tous les facteurs.
Par conséquent, en combinant ces deux mots, nous obtenons factorisation comme l'équivalent pour obtenir les premiers facteurs d'un nombre.
Maintenant, nous pouvons définir le sens de factorisation, qui est la suivante:
Factorisation Définition: Prime factorisation est une méthode de trouver tous les nombres premiers qui, lorsqu'il est multiplié par l'autre nous donne le résultat du nombre initial donné, dont les facteurs sont à trouver. Notez que chaque nombre supérieur à 1, peut être exprimée en tant que produit de facteurs premiers et, par conséquent, factorisation est un procédé pour réduire un certain nombre dans son produit de facteurs premiers.
Il existe de nombreuses méthodes pour trouver la factorisation d'un nombre quelconque. Certains d'entre eux sont énumérés ci-dessous:
Méthode numéro 1:
La méthode Section de première instance du Premier factorisation:
Cette méthode est la méthode la plus couramment utilisée dans lequel le nombre donné est divisé par un facteur le moins du nombre, puis en divisant à nouveau le nombre obtenu avec un autre facteur, jusqu'à ce que nous obtenons le reste zéro.
Méthode numéro 3:
Algorithme basé sur le travail de Fermat: Aussi connu comme algorithme de Fermat:
Cet algorithme est basé sur le fait que si un nombre donné peut être écrit comme la différence entre leurs places, alors nous pouvons factoriser le numéro comme suit:
Cet algorithme commence par les étapes suivantes:
Étape 1 . Soit n un nombre dont factorisation doit être fait alors, si
n = x 2 - y 2 = (x + y) * (x - y)
Étape 2 . Si n = a * b, où b $ \ geq $ a, alors nous pouvons écrire x et y x = $ \ frac< 2>$ et
$ y $ = $ \ frac $
L'objectif principal est d'obtenir cette valeur de x et y tel que n = x 2 - y 2 et, par conséquent, nous pouvons commencer par la valeur de x en tant que mod de racine carrée de n.
Prenons l'exemple suivant de trouver les principaux facteurs de 12317, puis en suivant les étapes ci-dessus, nous obtenons:
Ici, la valeur de n est 12317. Soit la valeur initiale de X 111. Maintenant x 2 - 4 = n, où 4 est le carré de 2 et, par conséquent, la valeur de y sera 2. Par conséquent, les principaux facteurs de 12317 sont, x - 2 et x + 2, qui sortiraient être 109 et 113, en mettant la valeur de x.
Méthode numéro 4:
Algorithme basé sur le travail d'Euler:
Aussi connu comme l'algorithme d'Euler: Cet algorithme est basé sur le fait que si un nombre donné peut être écrit comme la somme des carrés des deux nombres.
Par exemple: 72 peut être premier factorisée en nous donnant les premiers facteurs tels que
72 2 = 3 x 3 2
Or, la valeur de l'exposant de 2 vaut 3, l'addition de 1 à 3 est maintenant 4.
Ajout de 1 à 3 de l'exposant, qui est 2 nous donne 3.
Or la multiplication 4 x 3 = 12. Par conséquent, le nombre total de facteurs de ce nombre 72 a est 12, ce qui est vrai que 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 24, 36 et 72 , sont tous les facteurs de 72, qui, si elles sont 12 comptées en nombre.
Formule 2:
La formule d'Euler:
Cette formule est basée sur le célèbre algorithme d'Euler qui commence par les étapes suivantes:
Étape 1: Soit n un nombre impair dont factorisation doit être fait alors, si
n = a 2 + b 2
Supposons également que n peut aussi être exprimée sous la forme d'une somme des carrés des deux autres nombres tels que,
n = c 2 + d 2
Étape 2: Maintenant, un 2 + b 2 = c 2 + d 2. cela implique, un 2 - 2 c = d 2 - b 2 ou
(A + c) (a - b) = (b + d) (b - d).
Étape 3: Si le plus grand facteur commun d'un - c et d - b est k, alors nous allons écrire,
a - c = k * l, d - b = k * m, et G.C.D de (l, m) est égal à1.
Etape 4: Maintenant, l et m sont des nombres premiers entre eux, et, par conséquent, l (a + c) = m (d + b), et, par conséquent, a + c est peut être divisé par m et par conséquent,
a + c = m * n et b = d + l * n.
Étape 5: Ensuite, n serait égal à $ [(\ frac) ^ + (\ frac) ^] $ (m ^ + l ^) $.
De même, nous pouvons trouver la factorisation d'autres chiffres aussi, simplement en regardant le tableau ci-dessus montrant la factorisation des 100 premiers numéros.
Par exemple: le premier factorisation de 101 101 serait seulement parce que 101 est un nombre premier.
La factorisation de 102 = 2 x 3 x 17.
La factorisation de 103 = 103, et ainsi de suite.
2). 62 = 2 x 31. Notez qu'il n'y a que deux facteurs principaux de 62, on est 31, ce qui est un nombre premier et l'autre est un 2, qui est aussi un facteur premier, mais 2 est un nombre pair.
3). 64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2. Notez qu'il ya 6 facteurs premiers; tous sont égaux à 2, ce qui est un nombre pair.
4). 35 = 5 x 7. Notez qu'il n'y a que deux facteurs principaux de 35, qui sont tous deux nombres premiers 5 et 7.
5). 22 = 2 x 11. Notez qu'il n'y a que deux facteurs principaux de 22, qui sont tous deux nombres premiers.
6). 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2. Notez qu'il ya 5 facteurs premiers; tous sont égaux à 2, ce qui est un nombre pair de premier choix.
Comme nous le faisons la factorisation d'un nombre, de la même manière que nous pouvons faire factorisation d'une variable aussi, en écrivant leurs coefficients en tant que produit de nombres premiers et tout le reste des variables ayant exposant 1 ou des variables écrites avec la puissance de 1.
Ainsi, une variable qui est également connu comme un monôme en termes algébriques, (comme son coefficient sera toujours au moins un ou plus que cela), peut également être factoriser, en tant que produit de nombres, -1 et les variables sans pouvoir ou exposants petits supérieur ou égal à un.
Par exemple:
considérer les points suivants factorisation de monômes qui est une variable aussi, étant donné que -6xy 2.
Maintenant, la première chose serait de factoriser le nombre de coefficient qui est égal à 6, et donc, -6 = -2 x 3. Par conséquent, -2 et 3 sont les facteurs de la variable aussi.
Maintenant, la prochaine chose est de factoriser xy 2 = x. y. y, comme y a la puissance 2, et nous devons écrire les variables telles que la puissance égale à une seule.
Par conséquent, en combinant tous les facteurs en même temps que le signe de multiplication, nous obtenons:
-6xy 2 = -2. 3. x. y. y, qui est la factorisation de -6xy 2.
Voici quelques exemples de la façon de trouver factorisation d'une variable ou des variables:
1) 0,81 z 2. La factorisation de cette variable serait égale à
3 3 ⋅ ⋅ ⋅ 3 3 ⋅ ⋅ z z = z 2 81
2). 14 m: La factorisation de cette variable serait égale à 2⋅7⋅m = 14 m.
3). 92 ab: La factorisation de cette variable serait égale à 2⋅2⋅23⋅a⋅b
4). 8 a 3 b: La factorisation de cette variable serait égale à 2⋅2⋅2⋅a⋅a⋅a⋅b
5). 32 r 3 s 5. La factorisation de cette variable serait égale à 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅r⋅r⋅s⋅s⋅s⋅s⋅s
De même, nous pouvons trouver la factorisation de toutes les autres variables ayant des puissances supérieures.
Exponents sont connus comme les pouvoirs d'un nombre donné. Et puisque nous savons qu'un nombre peut être exprimé en tant que produit de ses facteurs premiers, il est donc tout à fait possible que nous pourrions avoir de nombreux facteurs premiers qui se répètent plusieurs fois. Ainsi, au lieu d'écrire ces facteurs individuellement, encore et encore, nous pouvons les écrire sous forme d'exposant, pour que les facteurs écrits d'une manière plus simple.
Considérons la factorisation de 40 ans, et nous obtiendrons les éléments suivants:
Ainsi, au lieu d'écrire 40 = 2 x 2 x 2 x 5, nous pouvons écrire ces facteurs de 40 dans leur forme d'exposant 40 = 2 3 x 5, comme 2 apparaît 3 fois dans la factorisation de 40.
Un exposant ou de la puissance d'un chiffre montre que le nombre de fois le nombre est utilisé étant un facteur pour un nombre donné particulier.
Voici quelques exemples de la façon de trouver factorisation d'un nombre écrit sous forme d'exposant:
1). 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3. Notez que sous forme d'exposant, nous allons écrire le premier factorisation de 72 = 2 x 3 3 2.
2). 30 = 2 x 3 x 5. Sous forme d'exposant, nous allons écrire le premier factorisation de 30 = 2 1 x 3 1 x 5 1.
3). 27 = 3 x 3 x 3. Sous forme d'exposant, nous allons écrire le premier factorisation de 27 = 3 3.
4). 104 = 2 x 2 x 2 x 13. Sous forme d'exposant, nous allons écrire le premier factorisation de 104 = 2 3 x 13 1.
5). 76 = 2 x 2 x 19. Sous forme d'exposant, nous allons écrire le premier factorisation de 76 = 2 2 x 19 1.
6). 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3. Sous forme d'exposant, nous allons écrire le premier factorisation de 48 = 2 x 4 3 1
7). 100 = 2 x 2 x 5 x 5. En forme d'exposant, nous allons écrire le premier factorisation de 100 = 2 x 2 5 2.
8). 63 = 3 x 3 x 7. Un formulaire exposant nous écrirons la factorisation de 63 = 3 x 2 7 1.
Voici la liste de quelques exemples de résoudre factorisation des nombres:
Exemple 1: Trouver les facteurs premiers du nombre 24 et l'exprimer en tant que produit de facteurs premiers en utilisant les notations des exposants.
Solution: En utilisant la méthode de division d'habitude, nous avons constaté que:
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2 $ ^ 3 $ x 3.
Par conséquent, la notation d'exposant pour les facteurs de 24 est égal à 2 x 3 3 1.
Exemple 2: Express chacun numéro suivant donné ci-dessous en tant que produit de leurs facteurs premiers en utilisant une méthode de factorisation et, par conséquent, écrire leurs facteurs premiers. Utiliser la notation d'exposant si le même facteur se répète plusieurs fois.
1) 35
2) 112
3) 153
4) 145
5) 125
6) 172
7) 196
8) 189
Solution:
1) 35 = 5 x 7. Par conséquent, les facteurs premiers de 35 sont 5 et 7.
2) 112 = 2 x 2 x 2 x 2 x 7. Par conséquent, les facteurs premiers de 112 sont 2 et 7. Etant donné que, 2 répète 4 fois, par conséquent, sous la forme d'exposant, on peut écrire, 112 = 2 x 4 7 1 .
3) 153 = 3 x 3 x 17. Par conséquent, les facteurs premiers de 153 sont 3 et 17. Depuis, 3 répète 2 fois, par conséquent, sous la forme d'exposant, on peut écrire, 153 = 3 2 x 17 1.
4) 145 = 5 x 29. Par conséquent, les facteurs premiers de 145 sont 5 et 29.
5) 125 = 5 x 5 x 5. Par conséquent, le premier facteur de 125 est 5 seulement. Depuis, 5 répète 3 fois, donc, sous forme d'exposant, nous pouvons écrire, 125 = 5 3.
6) 172 = 2 x 2 x 43. Par conséquent, les facteurs premiers de 172 sont 2 et 43. Depuis, 2 répète 3 fois, par conséquent, sous la forme d'exposant, on peut écrire, 172 = 2 2 x 43 1.
7) 196 = 2 x 2 x 7 x 7. Par conséquent, les principaux facteurs de 196 sont 2 et 7. Depuis, les deux 2 et 7 répètent 2 fois, donc, sous forme d'exposant, nous pouvons écrire, 196 = 2 2 x 7 2.
8) 189 = 3 x 3 x 3 x 7. Par conséquent, les principaux facteurs de 189 sont 3 et 7. Depuis, 3 répète 3 fois, donc, sous forme d'exposant, nous pouvons écrire, 189 = 3 3 x 7.