Spirale de Theodorus
Dans la géométrie, la spirale de Theodorus (également appelé carré spirale racine. Einstein spirale ou spirale de Pythagore) est une spirale composée ofcontiguous triangles rectangles. Il a été construit par Théodore de Cyrène.
Construction
La spirale est démarré avec un triangle rectangle isocèle, chaque branche ayant une longueur unitaire. Un autre triangle rectangle est formé, un triangle rectangle automedian avec une branche étant l'hypoténuse du triangle avant (avec une longueur √2) et l'autre branche ayant une longueur de 1; la longueur de l'hypoténuse de ce second triangle est √3. Le processus se répète ensuite; la i ème triangle de la séquence est un triangle rectangle ayant des longueurs latérales √i et 1, et avec hypoténuse √ (i + 1).
Bien que tous les travaux de Theodorus a été perdue, Platon a mis Theodorus dans son dialogue Théétète. qui raconte son travail. Il est supposé que Theodorus a prouvé que toutes les racines carrées des entiers non carrés de 3 à 17 sont irrationnels par l'intermédiaire de la spirale de Theodorus.
Platon n'attribue pas l'irrationalité de la racine carrée de 2 à Theodorus, car il était bien connu avant lui. Theodorus et Théétète divisent les nombres rationnels et nombres irrationnels dans des catégories différentes.
Hypoténuse
Chacun des triangles' salut hypoténuses donne la racine carrée du nombre naturel correspondant, avec h1 = √2.
Platon, instruit par Theodorus, a demandé pourquoi Theodorus arrêté à √17. La raison est communément admis être que le √17 hypoténuse appartient au dernier triangle qui ne chevauche pas la figure.
chevauchement
En 1958, Erich Teuffel a prouvé que deux hypoténuse ne jamais coïncider, quelle que soit la distance la spirale se poursuit. En outre, si les côtés de la longueur de l'unité sont étendues en une ligne, ils ne passeront par l'un des autres sommets du chiffre total.
Theodorus a arrêté sa spirale au triangle avec une hypoténuse de √17. Si la spirale est continue de triangles infiniment nombreux, de nombreuses caractéristiques les plus intéressantes se trouvent.
Taux de croissance
Si φn est l'angle de la n-ième triangle (ou un segment de spirale), alors:
Par conséquent, la croissance de l'φn angulaire du triangle suivant n est:
La somme des angles des premiers triangles k est appelé l'angle total φ (k) pour la k-ième triangle, et il est égal à:
La croissance du rayon de la spirale à un certain triangle n est égal à
spirale d'Archimède
La spirale de Theodorus se rapproche de la spirale d'Archimède. De même que la distance entre deux enroulements de la spirale d'Archimède est égale à constantpi mathématique, comme le nombre de tours de la spirale de Theodorus tend vers l'infini, la distance entre deux enroulements consécutifs rapidement π approche.
Ce qui suit est un tableau montrant la distance entre deux enroulements de la spirale approchant pi:
Calculé enroulement distance moyenne
La précision de l'enroulement distance moyenne par rapport à tc